Funksiya limiti va unga bog’liq asosiy tushunchalar Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism



Download 57,58 Kb.
bet6/8
Sana10.07.2022
Hajmi57,58 Kb.
#772555
1   2   3   4   5   6   7   8
Bog'liq
2 5458512500997754053 (1)

Koshi teoremasi
Endi funksiya limitining mavjudligi haqidagi umumiy teoremani keltiramiz. X to’plam berilgan bo’lib, a uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’pmlamda f(x) funksiya berilgan.
16-tarif. Agar son uchun shunday > 0 son topilsaki, argument x ning 0 < - a < , 0 < - a < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy va ( X, X) qiymatlarida
f( ) - <
tengsizlik o’rinli bo’lsa, f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarildi deyiladi.
Misol. Ushbu f(x) = funksiya uchun x = 0 nuqtada Koshi shartining bajarilishini ko’rsating. Haqiqatan, son olib, ni deb qaralsa, u holda x ning
0 < - 0 = < , 0 < - 0 = < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatlari uchun quyidagiga ega bo’lamiz: f( ) - = - + < .
Bu berilgan funksiya uchun x = 0 Koshi sharti bajarilishini ko’rsatadi. f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi shartining bajarilmasligini anglatadi:
> 0 son olganimizda ham shunday va 0 < - a < , 0 < - a < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi , ( X, X) qiymatlar topiladiki,
f( ) - bo’ladi.
Misol. Quyidagi
f(x) = funksiya uchun quyidagi x = 0 nuqta Koshi sharti bajarilmaydi. Haqiqatan, > 0 olganimizda ham = 1 va
= , = nuqtalar uchun k > [ ] bo’lganda < < bo’lishi ravshan,
f( ) - = = 2 bo’ladi.
6 – teorema.(Koshi). f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega bo’lishi uchun bu funksiya uchun a nuqtada Koshi shartining bajarilishi zarur va yetarli.
Isbot.Zarurligi. x a da f(x) funksiya chekli limitga ega bo’lib, = b bo’lsin Funksiya limiti ta’rifiga ko’ra > 0 son olinganda ham ga asosan shunday > 0 son topiladiki, argument x ning 0 < < tengsizlikarni qanoatlantiruvchi qiymatlarida
f(x) - b < tengsizlik o’rinli bo’ladi. Xususan , ushbu
0 < - a < f( ) – b <
0 < - a < f( ) – b < munosabatlar o’rinli. Bundan
f( ) - f( ) – b + f( ) – b < tengsizliklarning o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarilishini ko’rsatadi.
Yetarliligi. f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarilsin, ya’ni son olinganda shunday son topiladiki, x ning 0 < - a < , 0 < - a < tengsizliklarni qanoatlantiruvchi ixtiyoriy qiymatlarida f( ) - < tegsizlik o’rinli. Bu holda f(x) funksiya x a da chekli limitga ega bo’lishini ko’rsatamiz. a nuqta X to’plamning limit nuqtasi. Shuning uchun X to’plamning nuqtalaridan { ketma-ketlik tuzish mumkin, lim = a bo’ladi. Ketma-ketlik limiti ta’rifiga ko’ra, yuqorida olingan > 0 son uchun shunday N son topiladiki, barcha n > lar uchun 0 < - a < va 0 < - a < va 0 < - a < ( m = 1, 2, ..) tengsizliklar o’rinli bo’ladi. Bu tengsizliklarning bajarilishidan esa, shartga ko’ra
f( ) - < bo’ladi. Demak, {f( – fundamental ketma-ketlik. U yaqinlashuvchi. Biz {f( ketma-ketlikni limitini b bilan belgilaylik, yani = b. Endi X to’plamning nuqtalaridan tuzilgan va a ga intiluvchi ixtiyoriy { } ketma-ketlik a , a (n = 1, 2, .. ), olinganda ham f(x) funksiya qiymatlaridan tuzilgan mos {f( ketma-ketlik ham o’sha b ga intilishini ko’rsatamiz. Faraz qilaylik, a , ( a, n = 1, 2, .. ) da f( bo’lsin. va ketma-ketliklar hadlaridan ushbu
, , , , ..., , ketma-ketlikni tuzaylik. Ravshanki, bu ketma-ketlik a ga intiladi. U holda
f( ), f( ), f( ), f( ), ..., f( ), f( ), (1.11) ketma-ketlik fundamental bo’lib, chekli limitga ega. Bu limitni bilan belgilaylik. Agar {f( )} va {f( )} ketma-ketliklarning har biri (1.11) ketma-ketlikning qismiy ketma-ketliklari ekanini etiborga olsak, u holda f( ) , f( ) bo’lishini topamiz. Demak ,
= b =
Shunday qilib, f(x) funksiya uchun a nuqtada Koshi sharti bajarilishidan x to’plam nuqtalarida tuzilgan va a ga intiluvchi har qanday a, n = 1, 2,..) ketma-ketlik olinganda ham mos ketma-ketlik bitta songa intilishini topdik. Bu esa funksiya limitining Geyne ta’rifiga ko’ra f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega bo’lishini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi. 4-eslatma. Koshi sharti va Koshi teoremasi x a + 0, x a - 0; x , x + , x - bo’lgan hollarda ham yuqoridagiga o’xshash ifodalanadi va isbot etiladi.

Download 57,58 Kb.

Do'stlaringiz bilan baham:
1   2   3   4   5   6   7   8




Ma'lumotlar bazasi mualliflik huquqi bilan himoyalangan ©hozir.org 2024
ma'muriyatiga murojaat qiling

kiriting | ro'yxatdan o'tish
    Bosh sahifa
юртда тантана
Боғда битган
Бугун юртда
Эшитганлар жилманглар
Эшитмадим деманглар
битган бодомлар
Yangiariq tumani
qitish marakazi
Raqamli texnologiyalar
ilishida muhokamadan
tasdiqqa tavsiya
tavsiya etilgan
iqtisodiyot kafedrasi
steiermarkischen landesregierung
asarlaringizni yuboring
o'zingizning asarlaringizni
Iltimos faqat
faqat o'zingizning
steierm rkischen
landesregierung fachabteilung
rkischen landesregierung
hamshira loyihasi
loyihasi mavsum
faolyatining oqibatlari
asosiy adabiyotlar
fakulteti ahborot
ahborot havfsizligi
havfsizligi kafedrasi
fanidan bo’yicha
fakulteti iqtisodiyot
boshqaruv fakulteti
chiqarishda boshqaruv
ishlab chiqarishda
iqtisodiyot fakultet
multiservis tarmoqlari
fanidan asosiy
Uzbek fanidan
mavzulari potok
asosidagi multiservis
'aliyyil a'ziym
billahil 'aliyyil
illaa billahil
quvvata illaa
falah' deganida
Kompyuter savodxonligi
bo’yicha mustaqil
'alal falah'
Hayya 'alal
'alas soloh
Hayya 'alas
mavsum boyicha


yuklab olish