|
4. Cheksiz kichik va cheksiz katta funksiyalar va
funksiyalarni taqqoslash
Bizga X to’plam berilgan bo’lib, a uning limit nuqtasi bo’lsin. Bu to’plamda funksiyalar aniqlangan.
17-tarif. Agar x a da funksiyaning limiti nolga teng bo’lsa, funksiya x a da cheksiz kichik funksiya deb ataladi.
Misol. f(x) = funksiya x 0 cheksiz kichik funksiya, chunki = 0.
Agar X to’plamda aniqlangan f(x) funksiya x a da chekli b limitga ega bo’lsa (yani = b), u holda = f(x) – b funksiya x a da cheksiz kichik funksiya bo’ladi. Haqiqatan,
= = - b = 0. Demak, bu holda f(x) funksiya x a da cheksiz kichik funksiya bo’lgan yordamida quyidagi
f(x) = b + ko’rinishda ifodalash mumkin.
18-tarif. Agar x a da funksiyaning limiti bo’lsa, funksiya x a da cheksiz katta funksiya deb ataladi.
Misol. f(x) = funksiya x 0 da cheksiz katta funksiya bo’ladi.
Cheksiz kichik hamda cheksiz katta funksiyalar ham 3 – bobda o’rganilgan cheksiz kichik va cheksiz katta ketma-ketliklarning xossalariga o’xshash xossalariga ega. Quyida biz shu xossalarni keltiramiz.
1 . Chekli sondagi cheksiz kichik funksiyalar yig’indisi cheksiz kichik funksiya bo’ladi.
2 . Chegaralangan funksiyaning cheksiz kichik funksiya bilan ko’paytmasi cheksiz kichik funksiya bo’ladi.
3 . Agar ( 0) cheksiz kichik funksiya bo’lsa, cheksiz katta funksiya bo’ladi.
4 . Agar cheksiz katta funksiya bo’lsa, cheksiz kichik funksiya bo’ladi.
Bu xossalarning isboti bevosita 3 – bobning 4 – va 5 - $ laridagi xossalardan hamda funksiya limitining ta’riflaridan kelib chiqadi.
Funksiyalarni taqqoslash
X to’plamda f(x) va g(x) funksiyalar aniqlangan bo’lsin. Biror a nuqtaning (a) X atrofida f(x) va g(x) funksiyalar taqqoslash masalasini qaraymiz.
1. , o , belgilar.
19-tarif. Agar f(x) va g(x) funksiyalar uchun shunday o’zgarmas > 0 va C > 0 sonlar topilsaki, barcha x lar uchun
f(x) C g(x) (1.12) tengsizlik bajarilsa, u holda x a da f(x) funksiya g(x) funksiyaga nisbatan chegaralangan deyiladi va f(x) = (g(x)) kabi belgilanadi.
Shuni takidlash lozimki, bu tarifdagi x a belgi qaralayotgan (1.12) munosabatning a nuqtaning biror atrofida o’rinli bo’lishini ifodalab, f(x) va g(x) funksiyalarning x a dagi limitining mavjud bo’lishi yoki bo’lmasligiga bog’liq emas.
Masalan, x 0 da = (x) bo’ladi. Haqiqatan, ixtiyoriy (0) lar uchun, ya’ni x (-1, +1) lar uchun tengsizlik bajariladi.
Agar f(x) funksiya a nuqtaning biror atrofida chegaralangan bo’lsa, u x a da f(x) = (1) kabi yoziladi. Masalan, f(x) = funksiya x = 0 nuqta atrofida chegaralangan (chunki = e). Shuning uchun = (1) deb yozish mumkin.
20-tarif. Agar x a da f(x) va g(x) funksiyalar uchun f(x) = (g(x)) va g(x) = (f(x)) munosabatlar o’rinli bo’lsa, u holda x a da f(x) va g(x) funksiyalar bir xil tartibli funksiyalar deb ataladi.
Masalan, f(x) = x, g(x) = 2x + bo’lsin. Ravshanki x 0 da
tengsizliklar o’rinli. Bu esa
x = (( )), = (x) bo’lishini bildiradi. Demak, x 0 da f(x) = x, g(x) = 2x + funksiyalar bir xil tartibli funksiyalar bo’ladi.
Yuqorida keltirilgan ta’riflardan, x a da
) , ) ),
), ), = )
= ), = ), = )
kabi munosabatlarning o’rinli bo’lishini ko’rsatish qiyin emas.
7-teorema. Agar f(x) va g(x) (x a da f(x) 0, g(x) 0)funksiyalar uchun ushbu
= c limit mavjud va 0 < < bo’lsa x a da f(x) va g(x) bir xil tartibli funksiyalar bo’ladi.
Isbot. Ushbu
= c limit mavjud va 0 < < bo’lsin. U holda
= c + (x), = + (x) bo’lib bunda (x) va (x) funksiyalar cheksiz funksiyalarni ifodalaydi. = 0 , = 0, demak a nuqtaning yetarli kichik atrofi (a) da (x) va (x) funksiyalar chegaralangan bo’ladi. U holda barcha (a) lar uchun
(k = const) tengsizliklar o’rinli bo’lib, va funksiyalar uchun
+ k tengsizliklarga kelamiz. Demak
(
. Bu esa
f(x) = ) , g(x) = ) ekanini bildiradi. Teorema isbot bo’ldi.
21-tarif. Agar x a da f(x) va g(x) funksiyalar (x g(x) uchun
= 1 bo’lsa, u holda x a f(x) va g(x) lar ekvivalent funksiyalar deb ataladi. Ekvivalent funksiyalar
f(x) g(x)
kabi belgilanadi.
Masalan, x a da f(x) = x, g(x)= funksiyalar ekvivalent funksiyalar: x .
Agar x a da f(x) g(x), g(x) s(x) bo’lsa u holda x a da f(x) g(x) bo’ladi. Darhaqiqat, x a da f(x) g(x), bundan = 1, x a da g(x) s(x), bundan = 1 kelib chiqadi, ulardan
= = 1 limitga ega bo’lamiz. Demak, f(x) s(x).
22-tarif. Agar f(x) va g(x) cheksiz kichik funksiyalar uchun
f(x) = (x) g(x) tenglik o’rinli bo’lib, bunda = 0 bo’lsa, u holda x a da f(x) funksiya g(x) ga nisbatan yuqori tartibli cheksiz kichik funksiya deb ataladi. U
f(x) = (g(x)) kabi belgilanadi.
Agar f(x) funksiya a nuqtaning biror atrofida cheksiz kichik funksiya (yani x a da f(x) 0) bo’lsa, u f(x) = (1) kabi yoziladi.
Ravshanki, agar x a da f(x) va g(x) funksiyalar uchun f(x) = (g(x)) tenglik o’rinli bo’lsa, u holda bu funksiyalar uchun f(x) = ) tenglik ham o’rinli bo’ladi. Yuqorida keltirilgan ta’riflardan foydalanib katta va kichik o orasidagi bog’lanishlarni ifodalaydigan quyidagi munosabatlarni keltirib chiqarish mumkin.
) , ) ),
), ), = ),
= ), = ), = ).
Katta va kichik o ishtirok etgan tengliklarning oddiy ma’nodagi tengliklar ekanini ta’kidlaymiz.
Masalan, x a da = ), = ) munosabatlardan = deb xulosa chiqarish xato bo’ladi
Endi kichik o va ekvivalent belgilari bilan bog’langan funksiyalar orasidagi munosabatlarni ifodalaydigan teoremani keltiramiz.
8-teorema. x a da f(x) va g(x) funksiyalar (x f(x) ekvivalent (f(x) g(x)) bo’lishi uchun
g(x) – f(x) = ) yoki
g(x) – f(x) = ) tengliklar o’rinli bo’lishi zarur va yetarli.
Isbot. Zarurligi. x a da f(x) va g(x) funksiyalar ekvivalent bo’lsin: f(x) g(x).
U holda ta’rifga ko’ra = 1 bo’lib, undan
= = 0 kelib chiqadi. Demak, g(x) – f(x) = )
Yetarliligi. x a da g(x) – f(x) = ) bo’lsin. U holda x a da
= = bo’lib undan ,
= = 0 kelib chiqadi. Bu esa = 1, ya’ni f(x) g(x) ekanini ko’rsatadi. Teorema isbot buldi.
2-natija. Agar x a da f(x) va g(x) funksiyalar uchun
= c (c = const) bo’lsa, u holda ushbu
g(x) c x) va
g(x) = c x) + ) munosabat o’rinli bo’ladi.
Isbot. Shartga ko’ra
= c (c = const) bundan
= 1 kelib chiqadi. Demak, g(x) c x).
Yuqorida isbot etilgan 8-teoremaga asosan c x) –g(x) = ) = ) ko’rinishda yozish mumkin, undan g(x) = c x) + ) ekani kelib chiqadi.
Endi funksiyalarning ekvivalentligiga asoslangan hamda funksiyalarning limitini hisoblashda tez-tez foydalanib turadigan teoremani keltiramiz.
Do'stlaringiz bilan baham: |
