Funksiya limiti va unga bog’liq asosiy tushunchalar Reja: I. Kirish. II. Asosiy qism

3. Monoton funksiyaning limiti, Koshi teoremasi
Biz chekli limitga ega bo’lgan funksiyalarining xossalarini o’rgandik. Endi funksiya limitining mavjudligi masalasi bilan shug’ullanamiz. Dastlab bu masalani xususiy holda monoton funksiyalarga nisbatan hal qilamiz.
X to’plam berilgan bo’lib, a (chekli yoki ) esa shu to’plamning limit nuqtasi va barcha x X lar uchun x a bo’lsin. X to’plamda f(x) funksiya aniqlangan.
4-teorema. f(x) funksiya X to’plamda o’suvchi bo’lsin. Funksiya yuqoridan chegaralangan bo’lsa, a nuqtada chekli limitga ega, yuqoridan chegaralanmagan bo’lsa , uning limiti + bo’ladi.
Isbot. f(x) funksiya X to’plamda o’suvchi va yuqoridan chegaralangan bo’lsin. Bu holda {f(x): x X } to’plamning chekli aniq yuqori chegarasi mavjud bo’ladi. Biz buni b bilan belgilaylik: sup {f(x)} = b. Aniq yuqori chegaraning xossasiga ko’ra X uchun f(x) b bo’lib, son olinganda ham shunday X topiladiki, f( >b – bo’ladi. Qaralayotgan funksiya o’suvchi bo’lganidan > x tengsizlik bajarilganda f(x) tengsizlik ham o’rinli bo’ladi. Demak, barcha > x (x X) lar uchun f(x) > b – . Natijada ushbu b – < f(x) b < b + tengsizliklarga kelamiz. Bu esa b son f(x) funksiyaning limiti ekanini ifodalaydi. Yuqoridagi isbot jarayonida a chekli bo’lganda = a – ( = a - ) a cheksiz bo’lganda esa > P > 0 deb olinishi lozim Endi f(x) funksiya X da o’suvchi bo’lib, yuqoridan chegaralanmagan bo’lsin. Demak, har qanday P > 0 son olinganda ham shunday X son topiladiki, > P bo’ladi. Endi X va x > tengsizlik bajarilganda f(x) tengsizlik o’rinli bo’lganidan barcha x > (x X) lar uchun f(x) > P bo’lishi kelib chiqadi. Bu esa x a da f(x) + ekanini bildiradi. Teorema to’liq isbot bo’ldi.
X to’plam berilgan bo’lib a (chekli yoki - ) esa shu to’plamning limit nuqtasi va barcha x X lar uchun x a bo’lsin. X to’plamda f(x) funksiya aniqlangan.
5-teorema. Agar f(x) funksiya X to’plamda kamayuvchi bo’lib, u quyidan chegaralangan bo’lsa, f(x) funksiya a nuqtada chekli limitga ega, quyidan chegaralanmagan bo’lsa, uning limiti bo’ladi.
Bu teorema yuqoridgi teorema kabi isbotlanadi.