Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

§.  Topologik     fazolarda     kompaktlik  

 

 

        X    topologik    fazo   bo’lib ,  Y   uning   biror   qism   fazosi   bo’lsin.  Ochiq                        

to’plamlarning     

    sistema     uchun     

      bo’lsa,    u     holda 

 

bu    sistema    Y    to’plamning    ochiq   qoplamasi   deb   ataladi.  

       Agar   ochiq   qoplama    chekli    elementlardan   iborat    bo’lsa,   u   holda   u  

chekli  ochiq  qoplama   deyiladi.  

       Agar    topologik    fazoning    ixtiyoriy    ochiq   qoplamasidan    chekli    qism 

qoplama    ajratib   olish   mumkin   bo’lsa,   u   holda    bu   topologik    fazo  kom- 

paktli    deyiladi. 

 

 

    

   aksiomasini   qanoatlantiruvchi     kompaktli    topologik   fazoni    kompakt                                             

deb  ataymiz.  

      M   to’plamning     qism    to’plamlaridan    iborat    {A}     sistemadan    hohla-                       

gancha    olingan   chekli   sondagi   to’plamlarning   kesishmasi   bo’sh   bo’lmasa 

u  holda    {A}   sistema   markazlashgan   deb  ataladi.                      

      Agar    X   topologik   fazoning   har   bir  cheksiz   qism   to’plami  kamida  bir                      

limit    nuqtaga  ega  bo’lsa,  u  holda   bu   fazo    sanoqli-kompaktli   deyiladi. 

 

                                                        Masalalar  

 

 

      1.  Ixtiyoriy     [a,b]     kesma     kompakt     to’plamdir. 

      Yechimi.  [a,b]   kesmaning    intervallar    bilan   qoplamasidan    chekli   qop-                       

lama  ajratib  olish  mumkinligini   ko’rsatish  yetarlidir.  

       Aytaylik ,    

ℱ

 = 

   intervallar   sistemasi    uchun   [a,b] ⸦ 

    bo’lsin. 

 

C    orqali   [a,b]    kesmaning    shunday    x   nuqtalarini    belgilaymizki ,   bunda 

[a,x]    kesma    

ℱ   sistemaning    chekli   intervallari    bilan    qoplangan   bo’lsin.                      

C   bo’sh    bo’lmagan    to’plamdir.   Haqiqatan ,   a    soni    biror        intervalga 

tegishliligidan ,  [a,a] ⸦

 ,  ya’ni  a

.  

       

    bo’lsin.  Shunday   

   mavjudki,    

 

Aniq    quyi     chegara     ta’rifidan     shunday     

     mavjudki      

 

 

 

                                                                 10 

---

    [a,x]    kesma    

ℱ    sistemaning    chekli    intervallari    bilan    qoplangani    uchun                        

    [a,

   ham   bu   sistemaning  chekli  intervallari  bilan  qoplanadi. Bundan    

. 

 

             Agar   

    desak ,  u    holda   

   oraliqda   C    to’plamning   nuq- 

    tasi    topiladi ,   bu   esa   

  ning   aniq   quyi   chegara   ekanligiga   ziddir.   Hosil  

    bo’lgan    ziddiyatdan     

   kelib   chiqadi ,   ya’ni   [a,x]   kesmani   

ℱ    siste- 

    maning    chekli   intervallari   bilan   qoplash   mumkin.