Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

§.  Kompakt   to’plamlar   va   uzluksiz   akslantirishlar  

 

                       

1. Kompakt  to’plamning  uzluksiz  akslantirishdagi  obrazi   haqida. 

 

       1-teorema.    Kompakt     to’plamning    uzluksiz    akslantirish     natijasidagi 

obrazi   kompakt   to’plam  bo’ladi. 

 

       Isboti.  Aytaylik ,  M   kompakt   to’plam   va   T:M

  uzluksiz  akslantirish 

bo’lsin.  U   holda    

   to’plamning   kompakt  ekanligini   isbotlaymiz. 

       

   to’plamdan    ixtiyoriy    

    ketma - ketlik     olib,    

     orqali     

  

nuqtaning      T     akslantirishdagi     proobrazini      belgilaymiz:        

. 

U    holda      M    to’plamdagi      

     ketma - ketlikka     ega     bo’lamiz.     M 

kompakt       to’plam       bo’lganligi      sababli       bu      ketma - ketlikdan        M   

to’plamning       biror      c     nuqtasiga     yaqinlashuvchi     

    qism    ketma- 

ketlik      ajratib     olish     mumkin .    T     akslantirishda      bu       qism     ketma- 

ketlik       

      ning       

        qism       ketma  -  ketlikka      o’tadi.      T    

akslantirishning   c  nuqtada   uzluksizligidan  

     

             

. 

   

       Shunday  qilib,   

  to’plamdan   olingan    xar  bir   ketma - ketlik  

ning 

elementiga     yaqinlashuvchi     qism     ketma  -  ketlikka    ega.   Bu    esa    

 

to’plamning    kompakt    ekanligini    bildiradi.  Teorema   isbot  bo’ldi.