Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

 3.  Kantor   teoremasi. 

 (

      metrik       fazoda     uning     biror     M     qism     to’plami     va    f 

     funksional   berilgan   bo’lsin. 

             

            Ta’rif .     Agar       ixtiyoriy      

       uchun       shunday        

  

     topilsaki     

      shartni     qanoatlantiruvchi     har   qanday    

 

     uchun 

                                                    

 - 

 

 

     tengsizlik       bajarilsa ,      u     holda      f     funksional      M     to’plamda       tekis  

     uzluksiz   deyiladi .  

            M      to’plamda       tekis       uzluksiz      funksionalning       shu      to’plamda                       

     uzluksiz     bo’lishini    ko’rish    qiyin   emas. 

           Haqiqatdan ,    aytaylik ,     

     nuqta       M      to’plamga     tegishli    bo’lsin. 

     Hadlari     M     to’plamga     tegishli      bo’lib ,     

      nuqtaga      yaqinlashuvchi 

     Biror     

     ketma - ketlikni      tuzib     olamiz.   U    holda     ixtiyoriy     

 

     uchun       shunday      

       topiladiki ,      katta     n     larda      

  

     tengsizlikning     bajarilishidan     

 - 

    tengsizlikning    bajarilishi 

     kelib     chiqadi.    Demak ,     

     nuqtaga     yaqinlashuvchi       ixtiyoriy       

 

     ketma - ketlik         uchun       

       sonli       ketma – ketlik        

     ga 

     yaqinlashadi.    Bu    esa      f     funksionalning     

    nuqtada  uzluksiz  ekanligini 

     bildiradi.   Tanlashimizga     ko’ra ,     

     nuqta      M       to’plamning     ixtiyoriy 

 

 

                                                                     7 

---

nuqtasi      bo’lganligi     sababli ,      f      funksional      M     to’plamda     uzluksiz                        

bo’ladi. 

             Quyidagi      teorema      funksional       tekis      uzluksizligining      yetarli 

shartini    ifodalaydi : 

 

             3-  teorema (Kantor).     Agar     X     metrik      fazodagi      f     funksional 

M⸦X      kompakt     to’plamda     uzluksiz     bo’lsa ,    u     holda     f     funksional 

shu     to’plamda    tekis    uzluksiz   bo’ladi. 

 

             Isbot.    Aytaylik ,      f    funksional      M      to’plamda      uzluksiz ,   lekin                                   

tekis        uzluksiz       bo’lmasin .     U      holda       e       musbat        son       uchun 

r

 ,     |

      shartlar      asosida       M      to’plamning 

    va    

     nuqtalarini     tanlab     olish     mumkin.    Endi ,    M   to’plamning 

r

 ,        |f

        shartlarni       qanoatlantiruvchi        

 

va   

      nuqtalar    juftini   tanlaymiz. 

Shu            kabi             r

  ,           |f

             shartlarni                                    

qanoatlantiruvchi            nuqtalar          juftini         tanlash         cheksiz         davom   

ettirilib,      

      va      

      nuqtalar       ketma - ketligiga      ega    bo’lamiz. 

Kompakt       to’plam      M       ning        nuqtalaridan       tuzilgan      

     ketma- 

ketlikdan         yaqinlashuvchi        

         qism           ketma - ketlik          ajratib 

olish       mumkin.     Bu      qism     ketma -  ketlikning      limiti      

     bo’lsin. 

Ikkinchi           ketm - ketlikning        shu           nomerlarga         mos       hadlaridan                                       

tuzilgan        

      qism     ketma - ketlik      ham     

    nuqtaga     yaqinlashadi. 

Endi     tanlanishga     ko’ra 

 

                

 

 

bo’lganligi        sababli ,      o’ng      tomondagi        qo’shiluvchilarning        kamida 

biri      n   ga      bog’liq     bo’lmagan     holda             dan    kichik    bo’la   olmaydi. 

Bu      esa     funksionalning      

    nuqtada     uzluksizligiga     zid. 

Teorema   isbot   bo’ldi. 

 

                  

                    3-