Funksional analiz, algebra va analitik geometriya ʺ kafedrasi

§. Kompaktlik 

 

         

   topologik    fazo   bo’lsin.  Agar   A   to’plam   va   biror   

    

                       

to’plamlar    sistemasi    uchun    A⸦

    munosabatda    bajarilsa,   

  

 

sistema   A    uchun   qoplama    deyiladi.   Agar    bu   sistemaning     biror   qismi   

ham    A   uchun    qoplama    bo’lsa ,   u   qism   qoplama   deyiladi. 

          Agar   

  

  qoplamaga   kiruvchi   har  bir  

  to’plam  ochiq   bo’lsa, 

bu  qoplama  A  uchun  ochiq  qoplama  deyiladi. 

 

           Ta’rif.  Agar  A  to’plamning   ixtiyoriy  ochiq  qoplamasidan   chekli  qism  

qoplama   ajratib  olish  mumkin  bo’lsa,  A  kompakt  to’plam  deyiladi. 

          

    qism     to'plamlar    sistemasi     berilgan     bo'lsin.     Agar    bu 

sistemaning    ixtiyoriy    chekli  qism  sistemasining  kesishmasi  bo’sh  bo’lmasa, 

bunday  sistema  markazlangan sistema  deyiladi. 

  

         1-teorema. 

   topologik  fazo  kompakt  bo’lishi  uchun  undagi   yopiq 

to’plamlardan  iborat  har  qanday  markazlangan  sistemaning  kesishmasi   bo’sh 

bo’lmasligi  zarur  va  kifoyadir. 

 

          Isboti.   

Agar  

 

  

   

ochiq   to‘plamlardan   iborat   sistema   bo‘lsa,    u      

holda    

  

   sistema   yopiq    to‘plamlardan   iborat.   Teoremaning       

isboti  quyidagi duallik  prinsipidan  bevosita  kelib  chiqadi: ixtiyoriy  

 

uchun         

 

            X

 \ 

   

 

         2-teorema.  Kompakt fazoning  yopiq  qism  to‘plami kompakt  to‘plamdir. 

  

          Isboti.  F    to‘plam   X    kompakt    fazoning    yopiq    qism    to‘plami   va                       

    sistema    F    ning   yopiq    qism     to‘plamlaridan    iborat     ixtiyoriy                       

markazlangan   sistema    bo‘lsin.  U   holda   har   bir    

    to‘plam    X    da   

ham    yopiq    bo‘ladi    va   demak,  

    sistema    X   dagi    uning   yopiq                       

to‘plamlaridan      iborat     markazlangan      sistemadir.     Bundan     

    

ekanligi  kelib  chiqadi. 1-teoremadan  F ning   kompakt  ekanligi   kelib  chiqadi. 

 

   

          3-teorema.  Xausdorf   fazosining   kompakt   qism   to‘plami   yopiqdir. 

  

           Isboti.  X  Xausdorf  fazosi,  K  esa  uning   kompakt   qism  to‘plami  bo‘

lsin. 

Ixtiyoriy   

  nuqtani   olamiz;   unda   har   bir   

nuqta   uchun   x  va   y   larning                  

mos    ravishda    shunday    ochiq    bo‘lgan          

va    

  

atroflari   mavjudki, 

 

   sistema   K   uchun   ochiq   qoplama,   demak,   uning    

chekli  

 

                                                              4 

---

                                                         

 

                                              

                                                                  

      qism    qoplamasi    mavjud.     Endi          

          va                                                 

      

     ochiq    to‘plamlarni     olsak,    u  holda   to‘plam     y  

      nuqtaning      ochiq      atrofi      bo‘lib,     

  ;     bundan      

   

      ekanligi ,    ya’ni     

   munosabat    kelib    chiqadi.   Shunday   qilib,     

   

      munosabat     isbotlandi.   To’plam   yopilmasining     xossalariga     ko’ra    

      

      tenglik  kelib  chiqadi. 

              Kompakt  fazolarning  uzluksiz   aks  ettirishlari  qator  muhim xosslarga ega.                    

 

             4-teorema.  Kompakt   fazoning   uzluksiz  aks  ettirishdagi  tasviri   kompakt 

      fazodir.  

 

             Isboti.  X  kompakt  fazo,  f   esa  X  ni  biror  Y  fazoga  uzluksiz  aks  ettirish                       

      bo‘lsin.   f(X)   fazoning   ixtiyoriy   

   ochiq  qoplamasini   olamiz,  ya’ni 

      

.  So‘nggi  munosabatdan   X=

   tenglik  kelib chiqadi. 

 

      Bundan   va   f   ning    uzluksizligidan    

    sistema   X  ning   ochiq 

      qoplamasi   ekanligi   kelib   chiqadi   va,  demak,  undan   chekli  qism  qoplamani 

      ajratib   olish  mumkin,  ya’ni   ushbu   

   tenglikni  yozishimiz  

 

      mumkin.  Bundan   f(X)=

   tenglik   kelib chiqadi,   ya’ni  

 

 

      sistema   f(X)   ni  qoplaydi, demak,   f(X)   kompaktdir. 

  

             5–teorema. X   kompakt   fazoni   Y  Xausdorf  fazosiga   o‘zaro  bir  qiymatli 

      va  uzluksiz  aks  ettirish  gomeomorfizm  bo‘ladi. 

  

             Isboti.   Teoremani    isbotlash   uchun    

  

 

ning   uzluksizligini    ko‘rsatish 

      kifoya.   F    to‘plam    X   ning    yopiq    qism    to‘plami    bo‘lsin.   2-  teoremaga 

      ko‘ra       kompaktdir.    Endi     4-teoremani      qo‘llab ,     f(F)     ning      kompakt 

 

      ekanligini     ko‘ramiz,    va,    nihoyat,    3- teoremaga      ko‘ra      f(F)      yopiqdir. 

 

      Demak,   ixtiyoriy   F 

  yopiq    to‘plam  uchun  

    yopiqdir.                

 

             6–teorema.   X   kompakt   fazoda   f   uzluksiz   funksiya  berilgan  bo‘lsin.   U 

      holda   f   fuksiya  X  fazoda   chegaralangan  bo‘lib,  o‘zining  aniq  yuqori  va quyi                    

      chegaralariga ega. 

 

             Isboti.  X   kompakt   fazoda   aniqlangan   f  uzluksiz  funksiya  X  ni Xausdorf                     

 

 

                                                                   5 

---

fazosi    bo‘lmish   R   ga   uzluksiz   aks   ettirish   demakdir.  4- teoremaga   ko’ra 

   kompakt.  Bundan   f(X)   ning   R   da   chegaralangan   va  yopiq    to‘plam 

ekanligi   kelib   chiqadi,   va  demak,    f   funksiya   X   da   o‘zining   aniq  yuqori 

chegarasiga   va   aniq   quyi   chegarasiga   erishadi.                                  

 

                                                                        

                    2-