Функцияларни сонли интеграллаш

Дифференциал тенгламаларни ечиш усуллари: Эйлер усули

• Эйлер усули – бу оддий дифференциал тенгламаларни содда сонли ечиш усули ҳисобланади. Бу усул биринчи марта 1768 йилда Леонард Эйлернинг “Интегралли ҳисоблашлар” номли асарида берилган.
• Эйлер усули дифференциал тенгламаларни бир қадамли биринчи тартибли аниқликда интеграл эгри чизиғини чизиқли функция ёрдамида аппроксимациялаш (силлиқлаш) асосида ечиш усулидир. Бу чизиқли функция Эйлер синиқ чизиғи деб ҳам аталади.

Эйлер усули

• Бизга Коши масаласи қуйидаги кўринишда берилган бўлсин:
• бу ерда функция соҳада аниқланган. Ечим интервалда аниқланиши керак. Бунинг учун ушбу интервални қуйидагича тугунларга ажратамиз:
• тугундаги ечим қуйидаги формула орқали аниқланади:

, (3)

Бу формула биринчи тартибли аниқликдаги Рунге-Кутта усули деб ҳам аталади.

•  

Эйлер усули - алгоритми

• Берилганлар:
• Интервал: [a, b]
• ,

•  

Мисол.

• #include
• #include
• #include
• using namespace std;
• double func(double x, double y)
• {
• return 6*x*x+5*x*y; // f(x,y)
• }
• int main (int argc, char** argv)
• {
• int i, n;
• double x, y, h;
• cin>>h; //h = 0.01;
• cin>>n; //n = 10;
• cin>>x; //x0 = 1;
• cin>>y; //y0 = 1;
• for (i = 0; i <= n; i++)
• {
• y += h * func(x, y);
• x += h;
• cout<<" "<
• cout<<" "<
• }
• getch();
• return 0;
• }

Эйлер усулида топилган ечим хатолиги

• Эйлер усулини қўллаганда ҳар бир қадамда сонли усулда ҳисобланган ечим билан берилган дифференциал тенгламанинг нуқтадаги аниқ ечим орасидаги фарқ ушбу қадамдаги хатолик ёки локал хатолик деб аталади.
• Бизга маълумки, сонли усулда ечиш учун юқоридаги (3) формула асосида қуйидаги тенгликдан фойдаланамиз:
• Берилган дифференциал тенглама (Коши масаласи)нинг аниқ ечимини Тейлор қатори орқали ҳам олиш мумкин:
• (5) дан (4) ни айирсак, локал хатолик келиб чиқади, яъни:
• Бу тенглик агар функция узлуксиз иккинчи тартибли ҳосилага эга бўлса ўринли бўлади. Бошқача қилиб айтганда берилган функция иккала аргументи бўйича ҳам узлуксиз дифференциал-ланувчи бўлса, (6) тенглик ўринли бўлади.

•