Fredholm teoremalari

20.1-teorema. (20.2) tenglama yechimga ega bo‘lishi uchun vektor tenglamaning har bir yechimiga ortogonal bo‘lishi zarur va yetarli.

Isbot. va lar operatorning mos ravishda yadrosi va qiymatlari sohasi, ya’ni

ekanligini eslatamiz. Ma’lumki, uzluksiz bo‘lgani uchun to‘plam ning yopiq qism fazosi bo‘ladi. ham ning yopiq qism fazosi ekanligini isbotlaymiz. ketma-ketlik biror elementga yaqinlashuvchi bo‘lsin deb faraz qilaylik. Demak,

(20.4)

shartni qanoatlantiruvchi ketma-ketlik mavjud. vektorlarni fazoga ortogonal deb hisoblash mumkin, aks holda ning o‘rniga vektorlarni olish mumkin; bu yerda element vektorning qism fazoga proyeksiyasi. Bundan tashqari, ketma-ketlik chegaralangandir. Darhaqiqat, aks holda deb hisoblash mumkin, demak, (20.4) ga asosan

munosabat o‘rinli.

Ikkinchi tomondan ketma-ketlik birlik sharga tegishli bo‘lgani va kompakt ekanligi tufayli biror qismiy ketma-ketlik uchun ketma-ketlik biror elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bundan (20.5) ga asosan ketma-ketlik ham shu elementga yaqinlashuvchi bo‘ladi. Ravshanki,

(chunki ),

,

ya’ni Ammo har bir element ga ortogonal edi, demak, . Bu ikki munosabatdan kelib chiqadi. Bu tenglikka zid. Bu ziddiyat ketma-ketlikning chegaralangan ekanligini ko‘rsatadi. operator kompakt bo‘lgani uchun ketma-ketlikdan yaqinlashuvchi bo‘lgan qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin. (20.4) ga asosan ketma-ketlik ham yaqinlashuvchi bo‘ladi. Bu limitni bilan belgilasak, u holda

Bu yerdan ekanligi kelib chiqadi. Demak, yopiqdir. 18.3-teoremaga asosan, operator ham bilan bir qatorda kompakt bo‘lgani sababli, ham ning yopiq qism fazosi bo‘ladi.

Endi biz quyidagi munosabatlarni isbotlaymiz:

Ravshanki, va o‘zaro ortogonal qism fazolardir. Haqiqatan, iхtiyoriy va uchun



Ma’lumki, ga ortogonal har qanday qism fazo ning qismidir. Shunday ekan, Agar biz ekanligini ko‘rsatsak, (20.6) tenglik isbot bo‘lgan bo‘ladi. Faraz qilaylik, vektor ga ortogonal bo‘lgan ixtiyoriy element bo‘lsin, u holda barcha uchun

Demak, ya’ni Bundan ekanligi kelib chiqadi.

Xuddi shunday, tenglikni ko‘rsatib, (20.7) tenglikning isbotiga ega bo‘lamiz. (20.7) tenglikdan 20.1-teorema bevosita kelib chiqadi, ya’ni bo‘lishi uchun bo‘lishi yetarli va zarurdir.

Har bir natural son uchun orqali fazoni belgilaymiz, хususan ning tuzilishidan ravshanki, va

20.1-teoremani isbotlash davomida ko‘rsatilganidek, har bir yopiqdir.