Mavzu: vektorlarni skalyar kopaytmasi

URGANCH DAVLAT UNIVERSITETI
FIZIKA-MATEMATIKA FAKULTETI
MATEMATIKA YO’NALISHI 212-GURUH TALABASI
NING
ANALITIK GEOMETRIYA FANIDAN

KURS ISHI

MAVZU: VEKTORLARNI SKALYAR KOPAYTMASI.

TOPSHIRDI:

QABUL QILDI: _________________SULTONOV BEKZOD
URGANCH 2022

Mavzu: Vektorlar algebrasi elementlari.

Reja:

1. 
   Kirish.
   
2. 
   Asosiy qism.
   
   1. 
      Vektorlar. Vektorlar ustida amallar.
      
   2. 
      Vektorlarning chiziqli bog’liqligi.
      
   3. 
      Ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi.
      
3. 
   Xulosa.
   
4. 
   Foydalanilgan adabiyotlar
   

Kirish.

Fizik, kimyoviy va boshqa hodisalarni o’rganishda uchraydigan kattaliklarni ikki sinfga bo’lish mumkin.
Skalyar kattaliklar deb ataladigan kattaliklar mavjudki, uni xarakterlash uchun bu kattaliklarni qiymatlarini ko’rsatish yetarlidir. Bular, masalan, hajm, massa, zichlik, harorat va boshqalardir.
Lekin shunday kattaliklar mavjudki, ular faqat son qiymatlari bilangina emas, balki yo’nalishi bilan ham xarakterlanadi.
Ular yo’naltirilgan kattaliklar yoki vektor kattaliklar deb ataladi. Masalan, harakatlanayotgan nuqtaning bir vaziyatdan ikkinchi vaziyatga ko’chishida ta’sir etayotgan kuchli xarakterlash uchun kuchning o’lchamlarini ko’rsatish kifoya qilmasdan, balki bu kuchning yo’nalishini ham ko’rsatish zarurdir. Harakat tezligi magnet yoki elektr maydonning kuchlanganligi va boshqa kattaliklar ham o’xshash xarakterlanadi.
Ularni tasvirlash uchun vektor tushunchasi kiritilgan bo’lib, u analitik geometriya kursida o’rganiladi. Vektor tushunchasi muhim fundamental tushunchalardan bo’lib, faqatgina analitik geometriya kursida emas, balki matematikaning boshqa bo’limlarida ham muhim rol o’ynaydi.
Kurs ishi davomida vektor tushunchasi bilan kengroq tanishamiz. Ushbu kurs ishi 4 ta bobdan iborat bo’lib, I bobda kirish, II bobda asosiy qism vektorlar, vektorlar ustida amallar, vektorlarning chiziqli bog’liqligi, ikkita vektorning skalyar ko’paytmasi, III bobda xulosa, IV bobda foydalanilgan adabiyotlar keltirilgan.
Vektorlar.Vektorlar ustida amallar.
1-ta’rif. Uzunliklari teng va bir xil yo’nalishli barcha kesmalar to’plami ozod vektor yoki qisqacha vektor deb ataladi.
Vektorlarni ustiga strelka qo’yilgan kichik latin harflari , , , , , , bilan belgilaymiz.
F
1-chizma
azodagi barcha vektorlar to’plamini V bilan belgilaymiz. Yuqoridagi ta’rifdan vektorning uzunliklari teng va bir xil yo’nalishli kesmalar sinfidan iborat ekanligi ravshan. Bu sinfga tegishli har bir yo’nalgan kesma sinfni to’liq aniqlaydi. Shuning uchun agar bo’lsa, vektorni = ko’rinishida belgilash mumkin. Tabiiyki, birgina vektorning o’zini cheksiz ko’p usul bilan belgilash mumkin: = = = (1-chizma). vektorda A uning boshi, B esa oxiri deyiladi. Yo’nalgan kesmaning uzunligi vektorning uzunligi (yoki moduli) deyiladi va ko’rinishda belgilanadi. Bundan
=p(A,B)
2-ta’rif. Uzunligi birga teng bo’lgan vektor birlik vektor yoki ort deyiladi.
3-ta’rif. Boshi bilan oxiri ustma-ust tushgan vektor nol vektor deyiladi. Nol vektor ko’rinishda belgilanadi va uning uzunligi nolga teng deb hisoblanadi.
Nol bo’lmagan har qanday vektor tayin bir yo’nalishni aniqlaydi. Nol vektor yo’nalishga ega emas.
4-ta’rif. Agar , yo’nalgan kesmalar bir xil (qarama qarshi) yo’nalishli bo’lsa, = , = vektorlar bir xil (qarama qarshi) yo’nalishli deb ataladi.
va vektorlarning bir xil yo’nalishli ekanini ko’rinishida, qarama-qarshi yo’nalishli ekanini ko’rinishda belgilaymiz.
Ikki vektorning tengligi, ya’ni = yozuvi , vektorlarning bitta vektor ekanini, lekin turlicha belgilanganini bildiradi:


=
5-ta’rif. Agar vektorni hosil qiluvchi yo’nalgan kesmalardan biri d to’g’ri chiziqqa (II tekislikka) parallel bo’lsa, u holda vektor d to’g’ri chiziqqa (II tekislikka) parallel deb ataladi. vektorning d to’g’ri chiziqqa (II tekislikka) parallelligi ║ d ( ║II) ko’rinishda belgilanadi.
6-ta’rif. Bitta to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan ikki vektor kollenear vektorlar deb ataladi. va vektorlarning kollinearligi ║ ko’rinishda belgilanadi. Nol bo’lmagan kollinear vektorlar yo bir xil yo’nalishli, yoki qarama-qarshi yo’nalishli bo’lib, nol vektor har qanday vektorga kollinear deb hisoblanadi.
2 -chizmada tasvirlangan vektorlar bir yo’nalishli, vektorlar esa qarama-qarshi yo’nalishlidir.
Vektorlar ustida bajariladigan quyidagi amallar chiziqli amallar deb ataladi.
1. Vektorlarni qo’shish
2. Vektorlarni ayirish.
3. Vektorlarni songa ko’paytirish
2-chizma
Vektorlarni qo’shish. Ta’rif. Ikkita , vektorning yig’indisi deb istalgan A nuqtadan vektorni qo’yib, uning oxiri B ga vektorni qo’yganda boshi vektorning boshi A da, oxiri vektorning oxiri C da bo’lgan vektorga aytiladi (3-chizma). , vektorlarning yig’indisi + bilan belgilanadi.
Vektorlarni qo’shish ta’rifidan istalgan A, B, va C uch nuqta uchun
(*)
tenglik o’rinli bo’lishi kelib chiqadi. (*) tenglikni vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasi deyiladi. Ikki kollinear vektorni qo’shish ham shu qoida bo’yicha bajariladi.
Vektorlarni qo’shish amali quyidagi xossalarga ega:
1. Qo’shishning gruppalanish (assosiativlik) xossasi. Har qanday , , vektorlar uchun
( + )+ = +( + )
munosabat o’rinli.

3-chizma 4-chizma
Isbot. Vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasidan (4-chizma):
+ = ,
( + )+ = va + = ,
+( + )= ,
bundan ( + )+ = +( + ) ekani kelib chiqadi.
Qo’shiluvchi vektorlarning soni ikkitadan ortiq bo’lganda ularni qo’shish ushbu qoida asosida bajariladi: berilgan , , , vektorlarning yig’indisini hosil qilish uchun vektorning oxiriga vektorni boshini qo’yish, keyin vektorning oxiriga vektorning boshini qo’yish va bu ishni vektor ustida bajarilguncha davom ettirish kerak. U vaqtda + +…+ yig’indi vektor bilan vektorning boshidan, oxiri esa vektorning oxiridan iborat vektor bo’ladi.
Masalan 4-chizmadagi vektor berilgan , , , vektorlarni qo’shishdan hosil bo’lgan.
2. Qo’shishning o’rin almashtirish (kommutativlik) xossasi. Har qanday ikkita va vektor uchun + = + tenglik o’rinlidir.
Isbot: = va = bo’lsin. Ikki hol bo’lishi mumkin:

5-chizma
1) , vektorlar kollinear emas. Bu holda A, B, C nuqtalar to’g’ri chiziqda yotmaydi. (6-chizma)
ABC uchburchak ABCD parallelogrammga to’ldirsak, vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasiga ko’ra + = , + = ; bu ikki tenglikdan + = + .
2) ║ bo’lsin. Bu holda A, B, C nuqtalar bitta l to’g’ri chiziqda yotadi. (7-chizma)

6-chizma 7-chizma
D nuqtani olaylik, u holda .
Shunga ko’ra . Lekin bo’lgani uchun
, (1)
Ikkinchi tomondan,
(2)

1. 
   va (2) tengliklardan + = + tenglikka ega bo’lamiz.
   

3. Har qanday vektorga nol vektorni qo’shilsa, vektor hosil bo’ladi, ya’ni
+0=
Uchburchak qoidasiga ko’ra istalgan = vektor uchun tenglik yoki +0= tenglik o’rinli.
4. Har qanday vektor uchun shunday vektor mavjudki, uning uchun
+ =0, (3)
Isbot: = bo’lsin. Vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasiga ko’ra + = = , bundan = .
(3) tenglikni qanoatlantiruvchi vektor vektorga qarama qashi vektor deyiladi va - bilan belgilanadi.
Ta’rif. , vektorlarning ayirmasi deb, vektor bilan vektorga qarama qarshi - vektorning yig’indisiga aytiladi.
Bu ta’rifdan ko’rinadiki, - ayirma vektorni yasash uchun +(- ) vektorni yasash kerak ekan. Agar , vektorlar bitta O nuqtaga qo’yilgan bo’lsa, (8-chizma) hamda = va = deb belgilangan bo’lsa, u holda - = - = + = + = .
B u holda va vektorlarning ayirmasini topish uchun boshi B nuqtada, oxiri esa A nuqtada bo’lgan vektorni yasash yetarli bo’ladi. Bu qoidadan ko’rinadiki, ayirma vektor doimo mavjuddur.
3) = bo’lganda =0· bundan a=0.
8-chizma
Demak, vektorni songa ko’paytirish ta’rifidan va bu teoremadan bunday xulosa chiqaramiz: ║ = .
Vektorni songa ko’paytirish quyidagi xossalarga ega:
1.ͦ Gruppalanish xossasi. Ixtiyoriy vektor va har qanday sonlar uchun
(5)
munosabat o’rinlidir.
Isbot. va yo’nalgan kesmalarni olamiz. hamda va bir xil yo’nalishli kesmalar ekanini ko’rsaramiz.
=

Bundan ko’rinadiki .
Endi ║ ekanini ko’rsatish kerak. Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
1) >0, >0 bo’lsin. Vektorni songa ko’paytirish ta’rifiga ko’ra ║ va ( )=AB║ bo’ladi. Ikkinchi tomondan >0, >0 >0, bundan esa ║ . Bu ikki munosabatdan: ║ . Demak va yo’nalgan kesmalar bir xil yo’nalishli;
2) >0, <0 bo’lsin, bu holda , . Shu bilan birga >0, <0 , bundan esa yoki , bundan va dan ;
3) >0, >0; <0, <0 va hamda ning biri nolga teng bo’lgan hollarda ham va va bir xil yo’nalishli bo’lib, (5) munosabatning bu hollarda ham o’rinli ekanini ko’rsatish mumkin.
2.ͦ Har qanday vector va ixtiyoriy sonlar uchun
(6)
munosabat o’rinli.
Isbot. va bo’lsin. Yo’nalgan kesmani olamiz. Bu yerda quyidagi hollar bo’lishi mumkin:
1) >0, >0; ( <0, <0) bu holda + >0 ( + <0). Yo’nalgan , kesmalarni qaraymiz. U holda bo’lib, , va kesmalar bir xil yo’nalishli, shu bilan birga

(chunki ), bundan (6) munosabatning o’rinliligi kelib chiqadi.
2) >0, <0 va bo’lsin (ya’ni ning ishorasi ning ishorasiga teskari). Bu holda - bilan + ning ishoralari bir xil bo’lib 1) holga ko’ra
(- ) + ( + ) =
bu tenglikni ikkala tomoniga vektorni qo’shsak, (6) munosabat kelib chiqadi. Agar <0, >0, bo’lsin (ya’ni + <0 bo’lsin desak, u holda ((- )+(- ))>0 bo’lib, buning ishorasi ning ishorasi bilan bir xil va 1) holga ko’ra

bundan

tenglikni yoza olamiz, uning ikkala tomonini -1 ga ko’paytirsak, (6) munosabatga ega bo’lamiz.
3.ͦ Har qanday , vektorlar va ixtiyoriy uchun
( + )= + (7)
munosabat o’rinlidir.
Isbot. Bu yerda ikki hol bo’lishi mumkin:
1) ║ . Bu holda yuqoridagi teoremaga asosan shunday son mavjudki, = .
2.ͦ xossasiga ko’ra (7) tenglikning chap tomoni
( + )= ( + )= ( +1) (8)
ko'rinishga, uning o’ng tomoni esa
+ = + = ( +1) (9)
ko’rinishga keladi. (8) va (9) ni taqqoslab, (7) ning o’rinli ekaniga ishonch xosil qilamiz.
2) ╫ ( va vektorlar kolinear emas) va >0 bo’lsin. Biror O nuqtaga = vektorni, uning oxiri A ga = vektorni qo’yib, vektorni hosil qilamiz. (9-chizma)
= ( + )= (10)
bo'lsin. Vektorlarni qo’shishning uchburchak qoidasiga ko’ra


+ = (11)
OAB va OQP uchburchaklarda O uchdagi burchak umumiy va
bo’lgani uchun ∆OAB~∆OQP, bundan
, , >0 →
9-chizma
U holda
(12)
(10), (11), (12) → +
<0 bo’lgan hol ham shu kabi isbot qilinadi.
Shunday qilib barcha ozod vektorlar to’plami V da aniqlangan vektorlarni qo’shish va songa ko’paytirish amallari quyidagi xossalarni qanoatlantirar ekan:
1. (qo’shishning assosiativligi).
2. (qo’shishning kommutativligi)
3. uchun (nol vektorning mavjudligi)
4. uchun (qarama –qarshi vektorning mavjudligi)
5. (vektorni songa ko’paytirishning sonlarga nisbatan assosiativligi)
6. (vektorni songa ko’paytirishning sonlarni qo’shishga nisbatan distributivligi)
7. (vektorlarni qo’shishga nisbatan songa ko’paytirishning distributuvligi)
8 .
Bu sakkiz xossani qanoatlantiruvchi vektorlar to’plami V vektor fazo deb ataladi.
V vektor fazoning biror a to’g’ri chiziqqa parallel bo’lgan barcha vektorlari to’plami V₁ bilan belgilaylik. Ravshanki V₁ ning ixtiyoriy ikki vektori o’zaro kollineardir.