10-chizma
Vektorlarning chiziqli bogliqligi
1-tarif. Ixtiyoriy vektorlar sistemasi va a1 , a2 , an haqiqiy sonlar berilgan bolsin, u holda
(16)
vektor vektorlarning chiziqli kombinasiyasi deb ataladi, a1 , a2 , an sonlar bu chiziqli kombinasiyaning koeffisentlari deyiladi.
Xususiy holda, ikki vektorning yig’indisi , ikki vektorning ayirmasi va vektorlarni songa ko’paytmasi ham chiziqli kombinasiyidir.
2-tarif. Agar kamida biri noldan farqli a1 , a2 , an sonlar mavjud bolib, chiziqli kombinasiya nol vektor, yani
= (17)
bo'lsa, u holda vektorlar sistemasi chiziqli bogliq va (17) munosabat a1 , a2 , an sonlarning barchasi nolga teng holda bajarilsa, vektorlar chiziqli erkli deb ataladi.
1-teorema. Agar vektorlar sistemasining bir vektori nol vektor bolsa, u holda bu vektorlar sistemasi chiziqli bogliq boladi.
Isbot. bolsin, u holda ,
a1 = a2=, =ak-1 = ak+1 = =an =0 sonlar uchun (17) munosabat orinli boladi.
Demak 2-tarifga kora asosan vektorlar chiziqli bogliq.
Bu teoremadan quyidagi natija kelib chiqadi: chiziqli erkli vektorlar sistemasi nol nol vektorni oz ichiga olmaydi.
2-teorema. Agar vektorlar sistemasi chiziqli bogliq bolsa, sistemaning kamida bitta vektori uning qolgan vektorlari orqali chiziqli ifodalanadi.
Isbot: vektorlar sistemasi chiziqli bogliq bolsin, u holda 2-tarifga kora kamida bittasi noldan farqli a1 , a2 , an sonlar mavjud bolib, (17) munosabat orinli boladi. Aniqlik uchun bolsin, u holda (17) munosabatni ga hadma had bolib, vektorni topsak,
tenglikka ega bolamiz.
3-teorema. Ikkita vektor chiziqli bogliq bolishi uchun ularning kollinear bolishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. vektorlar chiziqli bogliq bolsin, u holda kamida biri noldan farqli a1 , a2 sonlar mavjud bolib,
= (18)
bo'ladi. Aniqlik uchun bolsin, u holda (18) munosabatdan belgilashlarni kiritsak, boladi, bundan teoremaga asosan ║ ekani kelib chiqadi.
Yetarliligi. ║ bo’lsin, u holda shunday son mavjudki, yoki . 2-ta’rifga ko’ra , vektorlar chiziqli bogliq.
Bu teoremadan quyidagi xulosaga kelamiz. Yuqorida biz V ning bir togri chiziqqa parallel bolgan barcha vektorlari toplamini V1 ning har ikki vektori chiziqli bogliq bolib, uning noldan farqli har bir vektori chiziqli erklidir.
4-teorema. Uch vektor chiziqli bogliq bolishi uchun ularning komplanar bolishi zarur va yetarli.
Isbot. Zaruriyligi. vektorlar chiziqli bogliq bolsin, u nolda kamida biri noldan farqli a1 , a2 , a3 haqiqiy sonlar mavjud bolib,
= (19)
tenglik bajariladi. Aytaylik, bolsin. (19) munosabatdan ga hadma had bolib, vektorni topamiz: . Bu tenglikda belgilashlarni kiritib, munosabatni hosil qilish mumkin.
va yonalgan kesmalarni qaraymiz. Agar A, B, C nuqtalar bir togri chiziqda yotsa, va vektorlar kollinear boladi.
Demak, bu holda vektorlar komplanar. A,B,C nuqtalar bitta togri chiziqda yotmagan holda ular orqali bitta tekislik otadi. Vektorlarni qoshishning uchburchak qoidasidan vektor , vektorlar bilan bir tekislikda yotadi, bundan vektorlarning komplanarligi kelib chiqadi.
Yetarliligi. vektorlar komplanar bolsin. Bu vektorlarning har birini A nuqtadan boshlab qoysak, , , vektorlar hosil boladi. Agar bu vektorlarning ikkitasi, masalan, , kollinear bolsa, 3-teoremaga kora ular chiziqli bogliq, yani kamida biri noldan farqli, sonlar mavjud bolib,
=
u holda
=
munosabatni yozish mumkin, bu munosabatdan vektorlarning chiziqli bogliqligi kelib chiqadi.
11-chizma
, vektorlar kollinear bolmasin (11) chizma. vektorni , vektorlar yo’nalishlariga parallel proyeksiyalasak, ,
lekin ║ , ║ , shuning uchun = , va = bolib,
(20)
Bu yerda =pr , = pr (20) tenglikdan
→ vektorlar chiziqli bog’liq.
Bu teoremadan quyidagi natijaga kelamiz. V2 vektor fazoning nokollinear har ikki vektori chiziqli erkli, har qanday uch vektori chiziqli bog’liq.
Ikki vektorning skalyar ko’paytmasi.
T a’rif. vektorlarning uzunliklari bilan ular orasidagi burchak kosinusini kopaytirishni hosil qilingan son bu vektorlarning skalyar kopaytmasini yoki ( ) korinishda belgilanadi.
Demak, tarifga kora (29).
Masalan, va vektorlarning uzunliklari , bolib, bu vektorlar orasidagi burchak 120 ͦ bo’lsa, u holda va vektorlarning skalyar ko’paytmasi :.
Natija. Nol vektorning har qanday vektorga skalyar ko’paytmasi nolga teng.
Ikki vektorni skalyar ko’paytirish amali quyidagi xossalarga ega.
1ͦ . Skalyar ko’paytirish o’rin almashtirish qonuniga bo’ysunadi.
=
Isbot. Ta’rifga ko’ra
va
;
kosinus juft funksiya ekanligini e’tiborga olsak, , bundan
= .
2ͦ . Har qanday vektorning o’z-o’ziga skalyar ko’paytmasi bu vektor uzunligining kvadratiga teng:
Isbot. Skalyar ko’paytma ta’rifidan,
ifoda bilan belgilanadi va vektorning skalyar kvadrati deb ataladi.
U holda (30) tenglikdan vektorning uzunligi:
3ͦ . Ikki vektorning skalyar kopaytmasi ularning birini uzunligi bilan ikkinchisining birinchisi yonalishiga tushirilgan proyeksiyasi kopaytmasiga teng, yani
( )
Isbot.
=
Bu yerda orthogonal proyeksiya kozda turilgan.
4ͦ . Skalyar ko’paytirish skalyar ko’paytuvchiga nisbatan gruppalanish qonuniga bo’ysunadi, ya’ni
, bu yerda
Isbot. Yuqoridagi 1ͦ , 3ͦ xossalarga ko’ra
5ͦ. Ko’paytuvchi vektorlar perpendikulyar bo’lsa, skalyar ko’paytma nolga teng:
Isbot. . Bu holda
6ͦ. Skalyar ko’paytirish taqsimot qonuniga bo’ysunadi, ya’ni har
qanday vektorlar uchun
Isbot. Yuqoridagi 1ͦ. 3 ͦ xossalarga ko’ra
7ͦ. Ortonormallangan bazis uchun
Isbot. Skalyar ko’paytma ta’rifidan
Xususiy holda
Xulosa
Bu kurs ishi analitik geometriya faniga bag’ishlangan bo’lib, unda vektorlar algebrasiga doir bo’lgan ma’lumotlar keltirilgan. Bu kurs ishini yozish davomida vektorlar ustida qo’shish, ayirish, songa ko’paytirish amallari, vektorlarning bog’liqligi haqida, vektorlarning skalyar ko’paytmasi va boshqa ko’plab ma’lumotlarni o’rgandim. Kirish qismida vektorlar haqida umumiy ma’lumotlar keltirdim. Vektorlarga doir misollarni yechish ko’nikmasiga va boshqa yangi bilimlarga ega bo’ldim.
Foydalanilgan adabiyotlar
N.D. Dadajonov. Geometriya (1-qism) Toshkent. 1996
A. Narmanov. “Analitik geometriya”. Toshkent 2008
T.Sh. Shodiyev. “Analitik geometriya va chiziqli algebra”. Toshkent. 1984
Internet sahifalari.
Do'stlaringiz bilan baham: |