Fredholm teoremalari

20.1-natija. Kompakt operatorlarning spektridan olingan iхtiyoriy noldan farqli son bu operator uchun chekli karrali хos qiymatdir.

Isbot. Faraz qilaylik, nolmas bo‘lsin. U holda 20.2-teoremani operator uchun qo‘llab tenglama noldan farqli yechimga ega ekanligiga kelamiz. Bu yerdan soni operatorning xos qiymati ekanligi kelib chiqadi. 20.3-teoremaga ko‘ra . Bu esa soni operatorning - karrali xos qiymati ekanligini bildiradi.

Misol sifatida «ajralgan» yadroli integral tenglamalarni qaraymiz.

Fredholm integral tenglamasining yadrosi

ko‘rinishga ega bo‘lsa, u holda ajralgan yadro deyiladi. Bu yerda funksiyalar fazodan olingan. Ravshanki, funksiyalarni chiziqli erkli deb hisoblash mumkin, aks holda yadroni chiziqli erkli bo‘lgan lar orqali ifodalash mumkin. (20.11) tenglikdan foydalanib, (20.10) tenglamani quyidagi ko‘rinishga keltiramiz:

Agar biz

belgilashlarni kiritsak, u holda (20.10) tenglama

ko‘rinishga keladi. funksiyaning bu ifodasini berilgan integral tenglamaga qo‘ysak,

ya’ni

ko‘rinishdagi tenglikka kelamiz. Bu yerda

Endi funksiyalar chiziqli erkli ekanligini hisobga olsak, (20.13) munosabatdan quyidagi tengliklar kelib chiqadi:

Agar biz bu chiziqli tenglamalar sistemasini larga nisbatan yechsak, u holda (20.12) tenglikdan funksiya ham topiladi. Shunday qilib, ajralgan yadroli integral tenglamani yechish masalasi (20.14) chiziqli tenglamalar sistemasini yechish masalasiga teng kuchli. Bunday tenglamalar yechimlarining хossalari bizga chiziqli algebra kursidan ma’lum.

Yuqorida bayon qilingan Fredholm teoremalarini chekli o‘lchamli fazolarda quyidagicha bayon qilish mumkin.