Формула бинома Ньютона

Misollar

Binomial teoremani qo'llashning oddiy misoli - ning formulasini chiqarishda kvadrat ning x + y:

Ushbu kengayishda paydo bo'lgan binomial koeffitsientlar 1, 2, 1 Paskal uchburchagining ikkinchi qatoriga to'g'ri keladi. (Uchburchakning yuqori "1" qismi shartli ravishda 0 qator deb hisoblanadi.) Ning yuqori kuchlarining koeffitsientlari x + y uchburchakning pastki qatorlariga to'g'ri keladi:

Ushbu misollardan bir nechta naqshlarni kuzatish mumkin. Umuman olganda, kengaytirish uchun (x + y)ⁿ:

Nyuton binomi formulasi. Binom koeffitsientlarining xossalari.Maqsadlar:- Nyuton binomial formulasi bilan tanishtirish, Nyuton binomial formulasini binomial kuchiga ko'tarishda qo'llashni o'rgatish;

- rivojlantiruvchi: xotirani, algoritmik va mantiqiy fikrlashni, e'tiborni rivojlantirishga yordam berish;

- tarbiyaviy: mas'uliyat, mustaqillik, vijdonlilik tuyg'ularini tarbiyalashni davom ettirish.)

Uskunalar: nazariy materiallar bilan kartalar.

Dars turi - birlashtirilgan;

Talabalarning ish shakllari - frontal, individual.

Darslar davomida:

1. Tashkiliy moment:

Mavzuni muloqot qilish, darsning maqsadlari.

2. Bilimlarni yangilash

I. Frontal so‘rov:

1) Kombinatorika nimani o'rganadi?

II. Og'zaki hisoblash:

1,5! =…. (120), A52 =… (20), C42 =…. (8)

2. 5 kishini skameykaga nechta usulda joylashtirish mumkin?

3. Yangi material taqdimoti:

Siz ma’ruzadan buyuk matematik Isaak Nyutonga tegishli qanchalar yorqin g‘oyalar va kashfiyotlar borligini eshitdingiz. Uning kashfiyotlaridan biri Binom Nyuton formulasidir. Aynan shu kashfiyotga biz bugungi darsimizni bag'ishlaymiz. Keling, dars mavzusini yozamiz. Darsimizning maqsadlari: Nyuton binomial formulasi bilan tanishish, Nyuton binomial formulasini binomialning kuchiga ko'tarishda qo'llashni o'rganish.

Binom so'zi "Ikki son" degan ma'noni anglatadi Matematikada binom "ikki o'zgaruvchining yig'indisining manfiy bo'lmagan butun sonining alohida a'zolariga parchalanish formulasi" deb ataladi. Keling, Nyutonga ergashib, uni keyinroq qo'llash uchun uni chiqarishga harakat qilaylik.

Ratsional darajali qo‘shish, ayirish, ko‘paytirish, bo‘lish, darajaga ko‘tarish amallari bilan bog‘langan son va o‘zgaruvchilardan tuzilgan ifodalar algebraik ifodalar deyiladi.

Algebraik ifodalarni o'zgartirishda qisqartirilgan ko'paytirish formulalari qo'llaniladi:

Ikki haddan iborat yig'indining kvadrati va kubi uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalarini (bunday yig'indi "bin" deb ataladi, rus tilida bu binomial deb ataladi) ehtimol siz eslaysiz (yoki hech bo'lmaganda esda tutishingiz kerak).

Agar siz ushbu formulalarni unutib qo'ysangiz, ularni aniq tenglikdagi qavslarni kengaytirish orqali to'g'ridan-to'g'ri olishingiz mumkin

Ehtimol, sizda savol tug'ilgandir: (kompyutersiz) to'rtinchi, beshinchi, o'ninchi darajali binomiallar uchun turdagi formulalarni olish mumkinmi?

Keling, to'g'ridan-to'g'ri hech bo'lmaganda beshinchi darajaga o'tishga harakat qilaylik, va u erda, ehtimol, "butalarda pianino" bo'ladi (buyurtma uchun biz atamalarni o'ng tomonga a darajasining kamayishi bilan joylashtiramiz, u maksimaldan pasayadi. nol):

Ehtimol, sizda savol tug'ilgandir: (kompyutersiz) to'rtinchi, beshinchi, o'ninchi darajali binomiallar uchun turdagi formulalarni olish mumkinmi?

Keling, to'g'ridan-to'g'ri hech bo'lmaganda beshinchi darajaga o'tishga harakat qilaylik, va u erda, ehtimol, "butalarda pianino" bo'ladi (buyurtma uchun biz atamalarni o'ng tomonga a darajasining kamayishi bilan joylashtiramiz, u maksimaldan pasayadi. nol):

Endi binomialni berilgan quvvatga ko'tarishda formulalarning o'ng tomonidagi raqamli koeffitsientlarni alohida yozamiz:

Oldingi sahifadagi “Butalardagi pianino” Paskal uchburchagi ekanligini hozirga qadar taxmin qilgandirsiz. Koeffitsientlar uchun yozilgan raqamlar uchinchidan boshlab Paskal uchburchagining chiziqlari ekanligini tekshirish oson. Birinchi ikkita satrga ega bo'lmagan ushbu "kesilgan uchburchak" osongina to'liq bajarilishi mumkin (n = 0 va n = 1 uchun chiziqlarni oling):

Bu bayonot Paskaldan ancha oldin ma'lum bo'lgan - uni XI-XII asrlarda yashaganlar bilishgan. Markaziy osiyolik matematik va shoir Umar Xayyom (afsuski, bu boradagi asari bizgacha yetib kelmagan). Bizgacha yetib kelgan Nyuton binomial formulasining birinchi tavsifi Oʻrta Osiyo matematigi at-Tusiyning 1265-yilda paydo boʻlgan kitobida keltirilgan boʻlib, unda inklyuzivgacha boʻlgan raqamlar jadvali (binomial koeffitsientlar) berilgan.

Yevropa olimlari Nyutonning binomial formulasi bilan Sharq matematiklari orqali tanishgan. Binom koeffitsientlarining xossalarini batafsil o'rganish fransuz matematigi va faylasufi B. Paskal tomonidan 1654 yilda amalga oshirilgan.

Endi binomni har qanday n darajaga ko'tarish aniq. Chap tomonda biz (a + b) n yozamiz. Va o'ng tomonda biz a + a-1b +… + bn yig'indisini yozamiz va har bir davrdagi koeffitsient uchun joy qoldiramiz. Va biz bu joylarni Paskal uchburchagining n-qatoridagi raqamlar bilan to'ldiramiz, bu albatta oldindan yozilishi kerak.

a + b binomialni n darajaga ko'tarish Nyuton binomialining kengayishi deb ataladigan formula yordamida amalga oshirilishi mumkin:

(a + b) n = an + C1n an - 1 b + C2n an - 2 b2 + ... + Ckn an - kbk + ... + Cn - 1nabn - 1 + Cnnbn

Bu erda Ckn - n ta elementdan k orqali hosil bo'lishi mumkin bo'lgan barcha mumkin bo'lgan kombinatsiyalar.

Misol:

(a + b) 5 = a5 + C15 a4b + C25 a3b2 + C35 a2b3 + C45 ab4 + C55 b5 = a5 + 5a4b + 10a3b2 + 10a2b3 + 5ab4 + b5

Shunday qilib, binomialni istalgan darajaga ko'tarish uchun formula yozishingiz mumkin. Binom Nyuton formulasi boʻyicha binomning parchalanishida atamalarning ayrim xossalariga eʼtibor qarataylik.

V) Nyutonning binomial xossalari

Terminlar soni binomial darajadan 1 ga ko'p.

Koeffitsientlar Paskal uchburchagi bo'yicha topiladi yoki C birikmalar soniga teng, bu erda n - binomial darajasi, m - 0 dan n gacha bo'lgan va ikkinchi ifoda darajasiga mos keladigan o'zgaruvchi.

Imkoniyatlar nosimmetrikdir.

Qavs ichida minus belgisi mavjud bo'lsa, u holda + va - belgilari almashinadi.

Har bir a'zoning darajalari yig'indisi binomial darajasiga teng.

Kengayish koeffitsientlarining yig'indisi (a + b) n 2 n ga teng.

VI) Yangi materialni mustahkamlash.

Misol 1. Qisqartirilgan ko'paytirish formulalari yordamida ifoda qiymatini hisoblang.

Yechim. Biz kvadratlar farqi uchun formuladan foydalanamiz. Berilgan ifoda quyidagi shaklni oladi: