Fizika matematika fakulteti

Cheksiz oraliq bo’yicha integral tushunchasi

Cheksiz oraliq bo’yicha integral tushunchasi funksiyani oraliqda qaraylik. Bu funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud.

ham mavjud. Bu limit funksiyadan oraliq bo’yicha olingan integral deyiladi va

ko’rinishda yoziladi. – sonini funksiya grafigi va koordinata o’qlari bilan chegaralangan figuraning yuzasi sifatida qarash mumkin.

Endi cheksiz oraliq bo’yicha olingan integral tushunchasini kiritamiz.

funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Bu funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud bo’lsin. Agar

mavjud bo’lsa, u holda bu limit funksiyadan oraliq bo’yicha olingan xosmas integral (birinchi tur xosmas integrali) deyiladi va

kabi belgilanadi. Bu holda funksiyani oraliqda xosmas ma’noda integrallanuvchi deyiladi. Demak, ta’rif bo’yicha

Bu holda – xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi.

oraliqda integral tushunchasini ham kiritish mumkin:

Nihoyat da xosmas integral tushunchasini kiritamiz:

Bu yerda funksiyadan ixtiyoriy segmantda Riman ma’nosida integrallanuvchanligi talab qilinadi. Agar (3) limit mavjud bo’lsa, u holda xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. (3) limit va larning mos ravishda va ga qanday usulda intilishiga bog’liq emasligini ta’kidlash lozim. Boshqacha aytganda integral yaqinlashuvchi bo’lishi uchun

limitlarning mavjud bo’lishi zarur va yetarli . Bu holda bo’ladi:

Berilgan y=f(x) funksiyaning aniq integrali tushunchasini ikkita shart bajarilgan holda qaragan edik. Birinchidan, [a,b] integrallash sohasining a va b chegaralari chekli sonlardan iborat deb olingan edi. Ikkinchidan, integral ostidagi f(x) funksiya [a,b] integrallash sohasida chegaralangan deb hisoblangan edi.

Ammo bir qator masalalarni yechishda quyi yoki yuqori chegaralaridan kamida bittasi cheksiz (±∞) yoki integral ostidagi f(x) funksiya integrallash sohasida chegaralanmagan integrallar paydo bo‘ladi. Masalan, y=e^–x, x=0 va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan egri chiziqli trapetsiyani yuzasini topish masalasi [0,∞) cheksiz soha bo‘yicha integral tushunchasini kiritishni va uni hisoblashni taqozo qiladi. Yoki , parabola yoyining uzunligini topish masalasi [0,1] kesmada chegaralanmagan funksiyani integrallash masalasiga keladi.

Shu sababli aniq integral tushunchasini bunday hollar uchun umumlashtirishga to‘g‘ri keladi va bu yerda biz shu masala bilan shug‘ullanamiz.

1. 
   I tur xosmas integrallar. Berilgan y=f(x) funksiya [a, +∞) cheksiz yarim oraliqda aniqlangan va ixtiyoriy chekli b≥a uchun [a,b] kesmada integrallanuvchi , ya’ni
   

integral mavjud bo‘lsin.

1-TA’RIF: y=f(x) funksiyaning [a, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali deb yuqori chegarasi o‘zgaruvchi F(b) integralning b→+∞ bo‘lgandagi limitiga aytiladi.

y=f(x) funksiyaning [a, +∞) cheksiz yarim oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali

(1)

deb belgilanadi va , ta’rifga asosan,

(2)

kabi aniqlanadi.

Geometrik nuqtai nazardan (1) xosmas integral y=f(x) [f(x)≥0], x=a va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz shaklning yuzasini ifodalaydi.