Fizika matematika fakulteti

3-TEOREMA: Agar x≥a bo‘lganda |f(x)|≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va

(4)

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi.

Bu teoremani isbotsiz qabul etamiz.

Masalan, ixtiyoriy λ haqiqiy soni uchun

(5)

xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘ladi, chunki

.

3-TA’RIF: Agar xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral absolut yaqinlashuvchi deyiladi. Agar I yaqinlashuvchi, J esa uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda I xosmas integral shartli yaqinlashuvchi deb ataladi.

Masalan, (5) xosmas integral α>1 holda absolut yaqinlashuvchi, 0<α≤1 holda esa shartli yaqinlashuvchi ekanligini ko‘rsatish mumkin.

Yuqoridagi (4) tengsizlikdan absolut yaqinlashuvchi xosmas integral yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Agar y=f(x) funksiya (–∞, b] cheksiz yarim oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu soha bo‘yicha I tur xosmas integrali yuqoridagi (2) tenglikka o‘xshash tarzda quyidagicha aniqlanadi:

. (6)

Bu xosmas integral uchun ham uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligi 2-ta’rif asosida aniqlanadi.

Masalan, har qanday chekli b va λ>0 sonlari uchun xosmas integral yaqinlashuvchi, chunki

.

Agar y=f(x) funksiya cheksiz (–∞,∞) oraliqda aniqlangan bo‘lsa, uning bu oraliq bo‘yicha I tur xosmas integrali yuqorida kiritilgan xosmas integrallar orqali

(7)

tenglik bilan aniqlanadi. Bunda c – ixtiyoriy chekli son, jumladan 0 bo‘lishi mumkin.

4-TA’RIF: Agar (7) tenglikning o‘ng tomonidagi ikkala xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda tenglikning chap tomonidagi xosmas integral ham yaqinlashuvchi deyiladi. Agar o‘ng tomondagi xosmas integrallardan kamida bittasi uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda chap tomondagi xosmas integral uzoqlashuvchi deb ataladi.

Masalan,

,

ya’ni J xosmas integral yaqinlashuvchi ekan. Demak, y=1/(1+x²) , , va y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shakl (84-rasmga qarang) chekli va π soniga teng yuzaga ega bo‘ladi.

84-rasm

2. 
   II tur xosmas integrallar. Endi chegaralanmagan funksiyalar
   

uchun aniq integral tushunchasini umumlashtiramiz. Berilgan y=f(x) funksiya

(a,b] yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a+ε,b] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda

funksiyani qarash mumkin.

5-TA’RIF: F(ε) funksiyaning ε→0+0 holdagi o‘ng limiti berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali deb ataladi.

Berilgan f(x) funksiyaning [a,b] kesma bo‘yicha II tur xosmas integrali quyidagicha belgilanadi va aniqlanadi:

(8)

limitga aytiladi.

6-TA’RIF: Agar (8) limit mavjud va chekli bo‘lsa, u holda II tur xosmas integral yaqinlashuvchi deyiladi. Aks holda bu xosmas integral uzoqlashuvchi dеb ataladi.

Misol sifatida ushbu II tur xosmas integralni ko‘ramiz:

. (9)

Bu yerda uch holni qaraymiz.

1. 
   Dastlab 0<α<1 holni tahlil etamiz:
   

.

Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati b^1–α .

2) Endi α=1 holni o‘rganamiz:

.

Demak, bu holda (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

3) α>1 holni qaraymiz:

.

Demak, bu holda ham (9) II tur xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Shunday qilib, (9) xosmas integral 0<α<1 holda yaqinlashuvchi, α≥1 holda esa uzoqlashuvchi ekan. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, y=1/x^α , x=0, x=b>0, y=0 chiziqlar bilan chegaralangan cheksiz geometrik shaklning S yuzasi 0<α<1 holda chekli va S= b^1–α (keyingi betdagi 85-rasmga qarang), α≥1 holda esa bu shakl yuzasi cheksiz bo‘lar ekan.


85-rasm


y=f(x) funksiya [a,b) yarim oraliqda chegaralanmagan, ammo ixtiyoriy uchun bu funksiya [a,b–ε] kesmada chegaralangan va integrallanuvchi bo‘lsin. Bu holda f(x) funksiyaning II tur xosmas integrali quyidagicha kiritiladi:

.

Bu yerda ham tenglikning o‘ng tomonidagi limit mavjud va chekli bo‘lsa xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda – uzoqlashuvchi deyiladi.

Masalan,

.

Demak, bu II tur xosmas integral yaqinlashuvchi.

.

Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi.

Agar y=f(x) funksiya [a,b] kesmaning biror ichki x=c nuqtasida chegaralanmagan bo‘lsa, bu holda II tur xosmas integral

(10)

tenglik orqali kiritiladi. Bu xosmas integralning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo‘lishi 4-ta’rif singari aniqlanadi.

Masalan, xosmas integralni qaraymiz. Integral ostidagi funksiya c=0 nuqtada uzlukli va chegaralanmagan. Unda, (10) tenglikka asosan,

,

,

.
Demak, bu II tur xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.

II tur xosmas integrallarning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini yetarli shartlari oldin I tur xosmas integrallar uchun ifodalangan 1-3 teoremalarga o‘xshash ifodalanadi.

2.