Fizika matematika fakulteti

2-TA’RIF: Agar (2) limit mavjud va chekli bo‘lsa, unda (1) xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda esa uzoqlashuvchi deyiladi.

(1) xosmas integralni qarashda ikkita masala paydo bo‘ladi.

I. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini aniqlash;

II. (1) xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lgan holda uning qiymatini topish.

Misol sifatida ushbu I tur xosmas integralni qaraymiz:

(3)

Bu integralni uch holda tahlil etamiz.

1. 
   Dastlab α>1 holni qaraymiz. Bu holda xosmas integral ta’rifi va Nyuton – Leybnits formulasiga asosan quyidagi natijani olamiz:
   

Demak, bu holda qaralayotgan (3) xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati a^1–α /( α–1) bo‘ladi.

2. 
   Endi α=1 holni tahlil etamiz:
   

.

Demak, bu holda (3) xosmas integral uzoqlashuvchi.

3. 
   α<1, ya’ni 1–α>0 holni ko‘rib chiqamiz:
   

.

Demak, bu holda ham (3) xosmas integral uzoqlashuvchi ekan.

Shunday qilib, (3) xosmas integral α>1 holda yaqinlashuvchi, aks holda, ya’ni α≤1 bo‘lganda uzoqlashuvchi bo‘ladi. Bu natijaning geometrik ma’nosi shundan iboratki, tekislikdagi

chiziqlar bilan chegaralangan yarim cheksiz geometrik shakllar α>1 holda qiymati S=a^1–α /( α–1) bo‘l gan chekli yuzaga ega (83-rasmga qarang).

83-rasm

a

Aksincha, α≤1 bo‘lganda esa bu geometrik shakllar cheksiz yuzaga ega bo‘ladi.

Ko‘p hollarda (1) xosmas integralning aniq qiymatini bilish shart bo‘lmasdan, uning yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi ekanligini va, yaqinlashuvchi bo‘lgan holda, qiymatini baholash yetarlidir. Bunday hollarda quyidagi teoremalardan foydalaniladi.

1-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0≤f(x)≤g(x) va xosmas integral yaqinlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham yaqinlashuvchi va quyidagi tengsizlik o‘rinli bo‘ladi:

Isbot: Teorema sharti va aniq integral xossasiga asosan [§5, (17)], ixtiyoriy a<b<+∞ uchun

tengsizlik o‘rinli bo‘ladi. Bunda F '(b)=f(b)≥0 bo‘lgani uchun F(b) monoton kamaymovchi funksiyadir. Ikkinchi tomondan barcha b≥a uchun F(b)≤G<∞, ya’ni chegaralangan funksiyadir. Bulardan b→+∞ bo‘lganda F(b) chekli limitga ega bo‘lishi kelib chiqadi. Bu yerdan, 1-ta’rifga asosan,

,

ya’ni teorema tasdig‘i o‘rinli ekanligi kelib chiqadi.

Misol sifatida ushbu xosmas integralni qaraymiz:

.

Bunda integral ostidagi f(x) funksiya

shartni qanoatlantiradi va

.

Demak, 1-teoremaga asosan, berilgan I xosmas integral yaqinlashuvchi va uning qiymati I≤1/4 bo‘ladi.

2-TEOREMA: Agar a≤x<∞ cheksiz yarim oraliqda 0 ≤ g(x) ≤ f(x) va

xosmas integral uzoqlashuvchi bo‘lsa, unda xosmas integral ham uzoqlashuvchi bo‘ladi.

Bu teoremaning isboti 1-teorema isboti singari amalga oshiriladi va o‘quvchiga mustaqil ish sifatida havola etiladi.

Masalan, xosmas integral uzoqlashuvchi ekanligini ko‘rsatamiz. Haqiqatan ham, x≥1 bo‘lganda, integral ostidagi funksiya

shartni qanoatlantiradi va

.

Bu yerdan, 2-tеorеmaga asosan, berilgan I integral uzoqlashuvchi ekanligi kelib chiqadi.

Agar xosmas integral ostidagi f(x) funksiya turli ishorali qiymatlarni qabul etsa, unda quyidagi teoremadan foydalanish mumkin.