Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

1.2 Funksiyaning o’sishi va kamayishi. Maksimum va
minimumi
O’suvchi va kamayuvchi funksiyalarga ta‘rif berilgan edi. Shunday bo’lsada ularni yana bir eslaylik. intervalda(u kesma bo’lishi ham mumkin) aniqlangan funksiyani qaraymiz. intervaldan olingan argumentning istalgan qiymatlariga funksiyaning qiymatlari mos kelsa funksiya intervalda o’suvchi deyilar edi. Shuningdek, intervaldan olingan argumentning istalgan qiymatlari uchun bo’lganda, funksiya intervalda kamayuvchi deyilar edi.
Bu yerda funksiyaning o’sish, kamayish oraliqlarini uning hosilasi yordamida aniqlash usuli bilan tanishamiz.
O’suvchi funksiyaning ta‘rifiga binoan bo’lganda bo’ladi. Agar , deb belgilasak, va ekanini, ya‘ni orttirmalar bir xil ishorali ekanini ko’ramiz.
Shunday qilib o’suvchi funksiya uchun bo’lar ekan. Shunga o’xshash kamayuvchi funksiya uchun bo’lishiga ishonch hosil qilish qiyin emas.
26.1-teorema(funksiya o’suvchi bo’lishining zaruriy sharti). Agar intervalda differensiallanuvchi funksiya shu intervalda o’suvchi bo’lsa, u holda bu funksiyaning hosilasi intervalning hech bir nuqtasida manfiy bo’lmasligi zarur, ya‘ni intervaldagi barcha х lar uchun bo’ladi.
Isboti. Teoremaning shartiga ko’ra funksiya intervalda o’suvchi, shu sababli istalgan uchun . Musbat funksiyaning limiti manfiy bo’la olmasligi sababli . Ammo teoremaning shartiga ko’ra funksiya intervalda differensiallanuvchi bo’lganligi sababli chekli limit mavjud va dagi barcha х lar uchun bo’ladi. Teorema isbot bo’ldi.
Funksiyaning maksimum va minimumi
nuqtada va uning atrfida aniqlangan funksiyani qaraymiz.
1-ta‘rif. Agar funksiyaning nuqtadagi qiymati shu funksiyaning bu nuqtaning yetarlicha kichik atrofidagi qolgan qiymatlaridan katta bo’lsa, funksiya nuqtada maksimum (maximum)ga ega deyiladi.
Boshqacha aytganda, agar har qanday yetarlicha kichik musbat yoki manfiy larda bo’lsa, funksiya nuqtada maksimumga ega deyiladi( da 112-chizma). Bu holda x₀ funksiyaning maksimum nuqtasi deyiladi.



112-chizma
2-ta‘rif. Agar funksiyaning nuqtadagi qiymati shu funksiyaning bu nuqtaning yetarlicha kichik atrofidagi qolgan qiymatlaridan kichik bo’lsa, funksiya nuqtada minimum ga ega deyiladi.
Boshqacha aytganda, agar har qanday yetarlicha kichik musbat yoki manfiy larda bo’lsa, funksiya nuqtada minimumga ega deyiladi( da 113-chizma). Bu holda x₀ funksiyaning minimum nuqtasi deb ataladi.