Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

5-misol. funksiyaning monotonlik intervallarini va ekstremumini toping.
Yechish.1) Berilgan funksiya intervalda aniqlangan va differensiallanuvchi.
2) Funksiyaning hosilasini topamiz: .
3) Kritik nuqtalarini topamiz: ; ;
; -kritik nuqtalar.
hosilaning ishorasini intervallar usulidan foydalanib tekshiramiz.
Funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlari
kesmada uzluksiz funksiyani qaraymiz. Bu funksiya kesmada o’zining eng katta va eng kichik qiymatlarini qabul qilishi aytilgan edi (18.5-teorema). Agar funksiya o’zining eng katta (eng kichik) qiymatlarini kesmaning ichki nuqtasida qabul qilsa u funksiyaning intervaldagi maksimum(minimum) qiymatlaridan biri bo’ladi. Bundan tashqari funksiya o’zining eng katta va eng kichik qiymatlariga kesmaning oxirlarida ham erishishi mumkin.
Shunday qilib, funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini topish uchun quyidagi qoidaga ega bo’lamiz.

1. 
   Funksiyaning intervaldagi barcha kritik nuqtalarini topib funksiyaning bu nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz.
   
2. 
   Funksiyaning kesmaning oxirlari nuqtalardagi qiymatlari larni hisoblaymiz.
   

Topilgan qiymatlardan eng kattasi funksiyaning kesmadagi eng katta qiymati, ulardan eng kichigi funksiyaning kesmadagi eng kichik qiymati bo’ladi.
6-misol. funksiyaning kesmadagi eng katta va eng kichik qiymatlarini toping.
Yechish.1. Funksiyaning kesmadagi kritik nuqtalarini topamiz va bu nuqta-larda hosilani hisoblaymiz. tenglamani yechamiz:
-kritik nuqtalar. Kritik nuqta-larning har ikkalasi berilgan kesmaga tegishli. Funksiyaning va nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
, .
2. Funksiyaning kesmaning oxirlari va nuqtalardagi qiymatlarini hisoblaymiz:
, .
Topilgan qiymatlar 82, 87, 80, 91 dan eng kichigi 80 berilgan funksiyaning kesmadagi eng kichik qiymati, ulardan eng kattasi 91 uning shu kesmadagi eng katta qiymati bo’ladi.