Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

2-masala. 180 soni ko’paytmasi eng katta va ulardan ikkitasi nisbatda bo’lgan uchta qo’shiluvchiga ajratilsin.
Yechish. Faraz qilaylik ko’rinishda tasvirlansin. Shartga ko’ra x,y,z sonlardan ikkitasi, masalan x,y nisbatda, ya‘ni , bo’lishi lozim. U holda yoki hosil bo’ladi. Demak ko’rinishdagi uchta х, 2х, qo’shiluvchilarga ajratildi. Shularning ko’paytmasi
ifodaning eng katta qiymatini topishimiz kerak. yoki dan bo’lgani uchun kritik qiymat kelib chiqadi. bo’lgani uchun ikkinchi yetarlilik shartiga binoan х=40 qiymatda funksiya eng katta qiymatga ega bo’ladi.
Demak, , . Shunday qilib, 180 soni 40, 80, 60 sonlarning yig’indisi ko’rinishida tasvirlanganda qo’shiluvchilardan ikkitasi nisbatda bo’lib, qo’shiluvchilarning ko’paytmasi eng katta bo’lar ekan, ya‘ni .
3-masala. Marvaridni bahosi uning massasi kvadratiga proporsional. Ishlov berish vaqtida marvarid ikki bo’lakka ajralib ketdi va natijada eng ko’p qiymatini (bahosini) yo’qotdi. Bo’laklarning massalari topilsin.
Yechish. Marvaridning massasini m, bahosini z, bo’laklarning massalarini va ularning baholarini mos ravishda orqali belgilaymiz. U holda butun marvaridning bahosi bo’laklarning baholari esa bo’ladi, bunda -proporsionallik koeffitsienti. Shartga ko’ra, butun marvaridning bahosi bilan siniq ikki bo’lak marvaridning bahosi orasidagi farq eng katta ekanligi bizga ma‘lum, yoki ekanini hisobga olsak kelib chiqadi. Bu yerda
o’zgarmas miqdorlar, эса o’zgaruvchi miqdordir. Endi funksiyaning eng katta qiymatini topamiz.
yoki dan kritik qiymat kelib chiqadi. bo’lgani uchun ikkinchi yetarlilik shartiga ko’ra funksiya qiymatda maksimumga ega bo’ladi. Demak, marvarid teng ikki bo’lakka bo’linganda o’zining eng ko’p bahosini yo’qotar ekan.