Fizika-matematika fakulteti ko‘p o‘zgaruvchili funksiya ekstremumini mavjudligining zaruriy va yetarli sharti. Shartli ekstremum

Differentsialning asosiy xossasi
Agar funksiya M₀ nuqtada differensiallanuvchi bo‘lsa, u holda cheksiz kichik lar uchun

bajariladi, ya’ni
.
Bir necha o‘zgaruvchili funksiya uchun taqribiy hisoblash formulasi quyidagi ko‘rinishga ega:
.
Ko‘p o‘zgaruvchili funksiyaning gradienti


funksiyaning M₀ nuqtadagi gradienti deb, koordinata-lari M₀ nuqtadagi funksiyaning mos xususiy hosilalar qiymatlariga teng bo‘lgan n o‘lchovli vektorga aytiladi va ko‘rinishda yoziladi:

1-misol. funksiyaning M₀(1;-1) nuqtadagi gradientini toping.
Yechish. , ,


,
Demak, grad =(-18, -1) ga teng bo‘ladi.
Gradientning asosiy hossasi:
funksiya nuqtada differensiallanuvchi bo‘lib, - n o‘lchovli birorta nolmas vektor bo‘lsin. nuqtani qaraymiz. U holda, agar:
1) ushbu skalyar ko‘paytma bo‘lsa, u holda shunday T₁ > 0 son mavjud bo‘ladiki, barcha t, 0 < t < T₁ lar uchun < tengsizlik bajariladi;
2) skalyar ko‘paytma bo‘lsa, u holda shunday T₂ > 0 soni mavjud bo‘ladiki, barcha t, 0 < t < T₂ lar uchun > tengsizlik bajariladi.
Berilgan funksiyaning nuqtada erishadigan qiymatidan katta bo‘ladigan nuqtani topish uchun quyidagicha ish tutamiz:
1) ko‘chish yo‘nalishini tanlaymiz, ya’ni shunday vektor topamizki, natijada bo‘lsin;
2) nuqtani qaraymiz va t > 0 parametrni shunday tanlaymizki, > bo‘lsin.
2-misol. funksiyaning M₀(-1;1) nuqtadagi qiymatidan katta bo‘ladigan nuqtani toping.
Yechish. Funktsiyaning gradientini topamiz:
. M₀ nuqtadagi qiymati
bo‘ladi. Agar  = (1,-1) bo‘lsa, u holda bo‘ladi. M_t(-1 + t; 1- t) nuqtani qaraymiz. U holda = - 8t²+32t-22 ga teng bo‘ladi va t = 2 da ga teng. Demak, t = 2 da funksiya eng katta qiymatga erishadi. Agar t = 2 bo‘lsa, M_t(1,-1) bo‘ladi va bu nuqtada = 10 ga teng. M₀ nuqtada esa = - 22 ga teng edi.
Bir necha o‘zgaruvchi funksiyaning ekstremumini topish gradientlar usulida gradientning asosiy xossasidan foydalaniladi.