Fazoviy sohalarni almashtirish

383. Xajmning egri chiziqli kordinatalardagi ifodasi. 382-n^o dagi shartlar va belgilashlarda fazodagi ( chegaralangan ) (D) jism xajmini fazodagi mos ( ) jism bo’yicha olingan uch karrali integral sifatida ifodalash masalasini qo’yaylik.
Bu xajm, avvola (S) sirtning tashqi tamoni bo’yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali

orqali ifodalanadi . bundan odatdagi ikki karrali integralga o’tishga xarakat qilaylik:
$$ sirtning parametric tenglamalari $$ (3) ni olamiz; parametrlar $$ tekislikning biror € sohasida o’zgarsin. (1) almashtirishning formulalarida $$ larni ularning (3) ifodalari bilan almashtirib, ravshanki, (s) sirtning parametric tenglamalarini xosil qilamiz:$$$$
Agar $$$$ deb olsak, 372-$$ dagi (7) formulaga [izohga qarang] binoan $$ bo’ladi.
$$ larning $$ larga bog’liqligi $$ vositasida bo’lgani uchun funksional detirminanlarining ma’lum xossasiga ko’ra[326-n], $$$$ Cning bu ifodasini yuqorida xosil qilingan integralga quysak, $$$$ ga ega bolamiz.
Bu integralni $$ sirtning tashqi tamoni bo’yicha olingan ikkinchi tur sirt integrali $$ (5) bilan solishtiraylik. Agar buni, (3) parametric tenglamalarga asoslanib, 372-n dagi (7) formulaga o’xshash formula bo’yicha oddiy ikki karrali integralga keltirsak, xuddi (4) integralning o’zi xosil bo’ladi. Bu integrallarning o’zi xosil bo’ladi. Bu integrallar orasidagi yagona farq ularning ishoralarida bo’lishi mumkin, xalos.
Nixoyat , (5) integraldan, ostrogradskiy formulasiga asoslanib , ($$) soha bo’yicha olingan uch karrali integralga o’tishimiz mumkin: $$$$
Integral ostidagi ifoda $$$$ ga tengdir. Birinchi qatardagi yig’indining $$, funksional detirminantga teng ekaniga, bu aniqlovchini oxirgi satr elimentlari boyicha yonib chiqib ishonch xosil qilish mumkin; kvatrat qavs ichidagi ifodaning nolga tengligini bevosita xisoblab chiqarish mumkin.
Shunday qilib, $$$$ formulani xosil qilamiz. Shartga ko’ra, funksional determinant o’z ishorasini saqlar edi. Integral ham o’sha ishraga ega bo’ladi. Demak, ravshanki ( biz $$ deb xisoblaganimiz uchun) integral oldidagi ishora determinant ishorasi bilan bir xil bo’lishi kerak. Shunga asosan yuqoridagi natijani ushbu ko’rinishdagi yozishimiz mumkin: $$$$ (6) yoki, funksional detirminanti, qisqalik uchun $$ orqali nelgilasak: $$$$ (6*)
Odatda’ integral ostidagi $$ ifodani egri chiziqli kordinatalarda ifodalanga xajm elimenti deb ataydilar.
(6*) formulaga o’rta qiymat xaqidagi teoremani qo’llanib, $$ (7) munosabatni xosil qilamiz; bu yerda $$ sohaning biror nuqtasi va $$- shu sohaning hajmi.
(7) munosabatdan ($$) soha $$ nuqtaga qisila borganda $$ ekanligi osongina kelib chiqadi. Shunday qilib, funksional detirminantning absolyut qiymati $$ fazoni $$ fazoga almashtirishga ( berilgan nuqtadagi ) cho’zilish koefsiyenti ekan.