Fazoviy sohalarni almashtirish

UCH KARRALI INTEGRALLARDA O’ZGARUVCHILARNI ALMASHTIRISH
382.Fazoviy sohalarni almashtirish. 352-$$ da tekis sohalarni almashtirish munosabati bilan aytgan fikrlarimiz, tabiiyki fazoviy sohalar uchun ham ko’chiriladi.
To’g’ri burchakli kordinata sestimasi bilan bir fazo boshqa $$ kordinata sestimasi bilan ikkinchi bir fazo berilgan bo’lsin. Bu fazolarda ikkita (D) va yopiq sohani bo’lakli-silliq (S) va sirtlar bilan chegaralangan deb olamiz. Bu sohalar orasida
(1)
formulalar orqali bajariladigan o’zora bir qiymatli uzliksiz moslik bo’lsin. Bu moslik natijasida ( ) sirtning nuqtalariga huddi (S) sirtning nuqtalari mos kelishi kerak va aksincha.
( ) sohada (1)) funksiyalar uzliksiz xususiy xosilalarga ega bo’lsinlar. U holda

funksional determinant ham ( ) da uzliksiz funksiya bo’ladi. Bu yerda ham {352- ga soddalashtiring} bu determinant doim noldan farqli va o’z ishorasini saqlaydi deb xisoblaymiz.
Bu shartlarda (1) formulalar ( ) sohadagi bo’lakli silliq sirtni (D) dagi bo’lakli silliq sirtqga almashtiradi va aksincha.
fazoda nuqta xolatini bir qiymatli aniqlaydigan sonlar bu nuqtaning egri chiziqli kordinatalari deyiladi.
fazoning kordinatalaridan biri ozgarmay turgandagi nuqtalar kordinata sirtini tashkilqiladi. Xammasi bo’lib uchta bunday kordinata sirtlari oilasi mavjud bo’ladi. (D) sohaning xar bir nuqtasidan xar qaysi oilaning bittadan sirti bo’ladi.
Shuni ham aytish kerakki, bularning hammasi ( ) va (D) sohalar orasida qatiy o’zora bir qiymatli moslik bolganina manoga ega bo’ladi. Amaliyotda bu bir qiymatlilik tez tez buzilib turadi.
MISOLLAR. 1) silindrik kordinatalar tekisligidagi qutb kordinatalari bilan odatdagi dekart aplikatasi ning birgalikda olinishidir (63-chizma). Ularni dekartda kordinata sestimasi bilan bog’lovchi formulalar ushbu:

k o’rinishga ega.
Bu formulalar

sohani butunlay fazoga akslantiradi. Ammo shuni takidlab o’taylikda, bunda to’gri chiziq bitta nuqtada akslanadi;
Bu qurilayotgan holda kordinata sirtlari quyidagilardan iborat bo’ladi;
yasovchilari z o’qiga parallel bo’lgan silindrik sirtlar ularning yo’naltiruvchilari bo’lib, markazi koordinata boshida xy tekislikda aylanalar xizmat qiladi;
o’qidan o’tuvchi yarim tekislikdirlar;
tekisligiga parallel tekisliklardir.
Almashtirishning funksional detirminanti:

Bu miqdor, hol istisno qilinganda, o’z ishorasini saqlaydi.
2) sferik kordinatalar ularni bazan fazodagi qutb kordinatalari deb ataydilar- dekart kordinatalar bilan

formulalar orqali bog’langan; bu yerda

64- chizmadan miqdorlarning geometric manosini ochiq oydin ko’rinadi: kordinata boshi (qutb) ni berilgan M nuqta bilan birlashruvchi OM radius vektorning qutb o’qiga perpindikulyar bo’lgan tekisligiga proeksiyasi orasidagi burchak .

Bu holda biz yana o’zora bir qiymatli moslikning buzilishiga duch kelamiz fazoning tekisligiga koordinata bilan boshi ga akslanadi, to’gri chiziq esa yagona nuqtaga akslanadi.

Kordinata sirtlari ushbu uchta oilani tashkil qiladi:
markazi kordinata boshida bo’lgan konssentrik sferalar;
o’qidan - o’tuvchi yarim tekislikdir
Bu almashtirishning detirminanti

bo’lib, u yuqoridagi hollarni, yani yoki bo’lgan – determinant nolga aylanadigan – hollarda istisno qilganda o’z musbat ishorasini saqlaydi.