Fazoviy sohalarni almashtirish

384. Geometrik isbot. Ostrogradskiyga o’xshash, (6) formulaning isbotini sof geometric mulohazalar bilan ko’rish ham mumkin. $$ fazodagi o’lchovlari $$ bo’lgan cheksiz kichik to’g’ri burchakli paraleipetga $$ fazodagi $$ va $$ , $$ , $$ va $$ kordinata sirtlari ostidagi elimentar jism mos quyiladi. Uni taqriban qiyshik, burchakli paralipeped deb qarash mumkin. Unng hajmi uchlari $$$$ nuqtalarda bo’lgan tetredr xajmidan 6 marta katta bo’ladi va analatik geometriyadan malum formulaga ko’ra ( absolyut miqdori jihatidan) usgbu $$$$ detirminantga teng. Bu ayrim ayrim ,, hajm elimentlarini ‘’ jamlab (6) formulani xosil qilamiz.
Shunday qilib, ishning mohiyati bu yerda ham, jism hajmini topish uchun uni o’zora perpendikulyar tekislikning sistimasi bilan emas, balki kordinata sirtlari to’ri yordamida elimentlariga ajratishdan iborat ekan.
Bazi bir sodda hollarda egri chiziqli kordinatalarda ‘’xajm elimenti” uchun ifoda bevosita topilishi xam mumkin boladi.
Misol tariqasida silindrik kordinatalarni olaylik; $$ fozadagi ikkita $$ va $$ radiusli silindrik sirtlar bilan, ikkita $$ va $$ balandliklar o’tqazilgan gorizantal tekisliklar bilan hamda z o’qidan o’tuvchi va $$ tekisligiga burchaklar bilan oqqan ikkita yarim tekisliklar bilan chegaralangan elimentar sohani qaraylik. (65) chizma)%%%%%%%
Shu singari sferik kordinatalar bolgan hol uchun ($$ fazoda ) $$ va $$ radiusli sferalar bilan kosinuslar bilan hamda $$ yarim tekisliklar bilan chegaralangan elimentar sohani qaraylik (66-chizma) . bu sohani ham taqriban o’lchovlari $$ togri bburchakli parallepeped deb olish mumkin. AC yoy o’z proyeksiyasi MN ga tengligi va Mn radiusli $$ bo’lgan aylananing $$ markaziy burchagiga mos kelgani uchun $$ . shunga ko’ra olingan soha hajmi $$ , funksional determinant esa $$ ga teng boladi.
Sodda geometric mulohazalar bilan topilgan bu ikkala natija ha aytilganlarga mos keladi.
385. uch karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirish. Xajmning egri chiziqli kordinatalarda ifodasi yordamida uch karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirishning umumiy formulasini topish qiyin emas.
$$ va $$ fozolarning (D) va $$ sohalari orasida izohlab berilgan moslik mavjud bo’lsin. (6) formulani keltirib chiqarishda foydalanilgan hamma shartlarga rioya qilingan holda, ikki karrali integrallarda o’zgaruvchilarni almashtirishda chiqarilgan formulaga o’xshash $$ (8)
Formula o’rinli ekanligini ko’rsataylik. Bunda $$ funksuyanu uzliksiz deb faraz qilaylik . shunday qilamiz (8) tenglikdagi ikkala integral mavjudligi shubhadan holi va, binobarin , tenglikning o’zini keltirib chiqarish kerak.
Isbot qilish uchun 356 dagi usuldan foydalanamiz. (d) sohalarni bo’lakli-silliq sirtlar bilan elimentar ( bir biriga mos ) (D) va $$ qismlarga ajratib, xar bir jusf (D) va ($$) sohalar uchun (7) formulani qo’llansak $$(9) ga ega bo’lamiz; bu yerda $$ nuqta $$ sohaning malum bir nuqtasi bo’lib, uni tanlash bizga bo’g’liq emas (D) sohadagi mos $$ nuqtani olib , yani $$ (10) deb hisoblab, (8) tenglikning chap tamonidagi integral uchun integral yigindi tuzamiz: $$