Fazoda to`g`ri chiziq va tekisliklarga oid aralash masalalar. I bob. Tekislik va uning tenglamalari

A
M
									x  4	y  2	z  3

• 
  4(z-3)+3(x-4)+4(y+2)-8(x-4)+(z-3)+6(y+2)=0 yoki x-2y-z-5=0
  

6-misol. M1(1;2;0), M2(-3;0;1), M3(1;-1;1)

nuqtalardan o’tuvchi

tekislik

tenglamasini tuzing.

Yechish (26) formuladan foydalanamiz:

x 1

y  2

z  0

=0 

31

0  2

1

 0

1 1

1 2

1

 0

x 1

y  2

z

=0  -2(x-1)+12z+4(y-2)+3(x-1)=0  x+4y+12z-9=0



 4

 2

1

0

 3

1

7-misol. M₁(1;2;0), M₂(2,1,1) nuqtalardan o’tib, -x+y-1=0 tekslikka perpendikulyar bo’lgan tekislik tenglamasini tuzing.

x 1 y  2 z  0

Yechish (29) formulaga asosan : 2 1		1  2	1  0 =0  x+y-3=0
	1	1	0

8-misol. a) 2x+4y+4z-2=0 va x-2y+2z-4=0

2. 
   x-y-2z+5=0 va 2x-2y-4z+6=0 teksliklar orasidagi burchakni toping. Yechish. (18) formuladan foydallansak:
   

a) cos 		21 4(2)  42					2		1	   arccos	1
		41616 144					63 9				9

12

b) (19) formulaga asosan :	1	=	1	=	 2	shartdan teksliklar parallel ekanligini ular
	2		 2		2

orasidagi burchak   0 bo’ladi.
9-misol. M(4;3;-5) nuqtadan 2x-3y+6z-4=0 tekslikgacha bo’lgan masofa topilsin.
Yechish. Ma’lumki M₀(x₀,y₀,z₀) nuqtadan Ax+By+Cz+D=0 tekislikkacha bo’lgan

masofa

d 

A  x0

 B  y0  C  z0

 D

formula bilan topiladi. Berilgan misolda A=2, B=-3,



A^2  B^2 C^2

24

35654

849

41

6

C=6, D=-4 bo’lganidan d 





 5

4936

7

7

7

10-misol. M₁(-1;0;0) va M₂(0;0;1) nuqtalardan o’tib 2x+y-2z+2=0 tekslik bilan 60⁰ burchak tashkil qiladigan tekslik tenglamasi tuzilsin.

Yechish. M₁(-1;0;0) nuqtadan o’tuvchi tekslik tenglamasi: A(x+1)+By+Cz=0(*). Bu tekslik M₂(0;0;1) nuqtadan o’tsa, uning koordinatalari tekslik tenglamasini qanoatlantiradi.
A(0+1)+B^.0+C^.1=0 => C=-A(**)
Berilgan tekslik bilan izlanayotgan tekslik orasidagi burchak 60⁰ bo’lgani uchun cos =cos60⁰= ¹₂

Ikki tekislik orasidagi burchakni topish formulasi va (**) ga ko’ra



A2  B1C (2)

1

cos 





2AB2A

1



A^2  B^2 C^2 2^2 1^2 2^2

2 





2



3 A^2  B^2 C^2

CA

 2(4A+B)=3 2A²  B²  2A² 32AB 5B²  0  A  ¹₂ (3 3 4)B (***)

• 
  tenglamada A va C larning o’rniga
  

qo’yib B ga qisqartirib soddalashtirsak:  (3 bo’ladi

• 
  va (***) tengliklardagi qiymatlarini 3 -4)x+2By=0 tekslik tenglamalari hosil
  

13

11-misol. 4x+3y-5z-8=0 va 4x+3y-5z+12=0 teksliklar orasidagi masofani toping.
Yechish. Izlanayotgan masofani topish uchun teksliklarning birida nuqta olish va bu nuqtadan ikkinchi tekslikkacha bo’lgan masofani aniqlash kerak. Berilgan teksliklardan birinchisining tenglamasida y=0, z=0 deb faraz qilib, 4x-8=0=> x=2 ga ega bo’lamiz, ya’ni M(2;0;0) nuqtani hosil qilamiz. Bu nuqtadan 4x+3y-5z+12=0 tekislikkacha

bo’lgan masofa d 

42305

0 

12

20

4





 2

2

 4^2 3^2 5^2

 5 2

2

14

II BOB. Fazoda to’g’ri chiziq tenglamalari.