Fazoda tekislikning turli tenglamalari Reja: I. Kirish II. Asosiy qism

Berilgan nuqtadan berilgan tekislikgacha masofa
R₃ fazoda to`g`ri burchakli koordinatalar sistemasi kiritilgan bo`lib, berilgan M<sub>0</sub> nuqtadan umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan berilgan Ax + By + Cz + D = 0 (A² + B² + C² ≠ 0) tekislik orasidagi d masofani topish masalasi qo`yilgan bulsin.
r<sub>0</sub>(x<sub>0</sub>, y<sub>0</sub>, z<sub>0</sub>) vektor M<sub>0</sub> nuqtaning radius vektori va r(x, y, z) vektor esa tekislikning ixtiyoriy M nuqtasi radius vektori bo`lsin. d masofa r₀ – r vektorning a yoki ν vektordagi sonli proeksiyasining absolut qiymatiga teng: d = |Pr_ν(r₀–r)|. Masofani hisoblash formulasi vektor ko`rinishda yoki tekislikning normal tenglamasi parametrlari orqali yozilishi mumkin (13-mavzuga qarang). Tekislikning umumiy tenglamasi parametrlari orqali esa

ko`rinishda yoziladi.
Masala. (-1, 4, -3) nuqtadan x+2y–2z+5=0 tekislikgacha bo`lgan masofani toping.
Nuqtadan tekislikkacha bo`lgan masofani hisoblash formulasiga binoan:
( bir.).
Fazoda ikki to`g`ri chiziq orasidagi burchak. To`g`ri chiziq va tekislik orasidagi burchak. Fazoda to`g`ri chiziqning turli ko`rinishdagi tenglamalari.
Fazoda ikki L₁ va L₂ to`g`ri chiziqlar kanonik


(L₁) va (L₂)

ko`rinishdagi tenglamalari bilan berilgan bo`lib, ular orasidagi burchak kattaligini topish masalasi qo`yilgan bo`lsin. Berilgan to`g`ri chiziqlar orasidagi φ burchak, L₁ va L₂ larning yo`naltiruvchi vektorlari a(a<sub>1</sub>, a<sub>2</sub>, a<sub>3</sub>) va b(b<sub>1</sub>, b<sub>2</sub>, b<sub>3</sub>) orasidagi burchakka teng. Berilgan to`g`ri chiziqlar bir tekislikda yotishi yoki o`zaro ayqash bo`lishi mumkin. Barcha hollarda ular orasidagi burchakni topish masalasi to`g`ri chiziqlar-ning yo`naltiruvchi vektorlari orasidagi burchakni topish masalasiga keltiriladi:

.

Fazoda umumiy ko`rinishdagi tenglamasi bilan (T) tekislik va kanonik ko`rinishdagi tenglamalari bilan (L) to`g`ri chiziq berilgan bo`lsin:

Ax + By + Cz + D = 0 (T), (L)
Berilgan to`g`ri chiziq va tekislik orasidagi α burchak sinusi (L) to`g`ri chiziq yo`naltiruvchi vektori a(a₁, a₂, a₃) bilan (T) tekislik normal vektori N(A, B, C) orasidagi  burchak kosinusiga teng (2-rasm ).



3-rasm
Masala vektorlar orasidagi burchak kattaligini topish masalasiga keltirildi. Shunday qilib,

To`g`ri chiziq va tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari quyidagi munosabatlardan iborat:
L  T: , L | | T : a₁A + a₂B + a₃C = 0.
Masala. (-3, 4, -2) nuqtadan o`tib, x + 2y – 5z + 8 = 0 tekislikka perpendikulyar bo`lgan to`g`ri chiziq tenglamasini tuzing.
To`g`ri chiziq tekislikka perpendikulyar bo`lganidan, tekislik normal vektori to`g`ri chiziq yo`naltiruvchisidir. Demak, to`g`ri chiziqning kanonik shakldagi tenglamalari

ko`rinishga ega.