Fazoda tekislikning turli tenglamalari Reja: I. Kirish II. Asosiy qism

Masala. M₀(-2, 3, -1) nuqtadan o`tib, N=(1, -4, 2) vektorga perpendikulyar tekislik tenglamasini tuzing.
Tuzilgan tenglamaga binoan: yoki x – 4y + 2z + 16 = 0.
2.7. Berilgan uch nuqtadan o`tuvchi tekislik tenglamasi. Tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak. Tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari
Fazoda bir to`g`ri chiziqda yotmaydigan uchta (x₁; y₁; z₁), (x₂; y₂; z₂) va (x₃; y₃; z₃) nuqtalar berilgan bo`lib, ular orqali o`tuvchi yagona tekislik tenglamasini tuzish masalasi qo`yilgan bo`lsin.
Tekislik (x₁; y₁; z₁) nuqtadan o`tgani uchun A(x-x<sub>1</sub>) + B(y-y<sub>1</sub>) + C(z-z<sub>1</sub>) = 0 tenglama o`rinli, bu yerda A, B va C koeffitsientlar bir vaqtda nolga teng emas. Tekislik berilgan ikkinchi (x₂; y₂; z₂) va uchinchi (x₃; y₃; z₃) nuqtalardan ham o`tgani uchun quyidagi munosabatlar o`rin-li:
A(x₂ – x₁) + B(y₂ – y₁) + C(z₂ – z₁) = 0,
A(x₃ – x₁) + B(y₃ – y₁) + C(z₃ – z₁) = 0.

A, B va C noma`lumlarga nisbatan uchta bir jinsli chiziqli tenglamalar sistemasi hosil bo`ldi. Ma`lumki, ushbu bir jinsli sistema determinanti nolga teng bo`lgandagina nolmas yechimlarga ega. Demak, berilgan bir to`g`ri chiziqda yetmaydigan uchta nuqtadan o`tuvchi yagona tekislik tenglamasi

shaklda yoziladi. Tenglamani quyidagi ko`rinishda ham yozish mumkin:

Oxirgi ikki tenglamaning o`zaro teng kuchli ekanligini tekshirib ko`rish qiyin emas.
Ikki T₁ va T₂ tekislik umumiy ko`rinishdagi tenglamalari bilan berilgan bo`lsin:

Berilgan tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchak ularning normal N₁(A₁; B₁; C₁) va N₂(A₂; B₂; C₂) vektorlari orasidagi φ burchakka teng. Ushbu tenglik tekisliklar orasidagi ikki yoqli burchakni topish masalasini ularning normal vektorlari orasidagi burchakni topish masalasi bilan almashtirish imkonini beradi:

.

Bu yerda, 0 ≤ φ ≤ π. Berilgan tekisliklarning perpendikulyarlik va parallellik shartlari quyidagilardan iborat:

T₁  T₂: (N₁, N₂) = 0 yoki A₁A₂ + B₁B₂ + C₁C₂ = 0,

T₁ | | T₂: N₁= λN₂ yoki
Masala. x + y + z = 1 va z = 0 tekisliklar orasidagi burchakni toping.
Berilgan tekisliklar hosil qilgan ikki yoqli burchak mos normal vektorlar (1, 1, 1) va (0, 0, 1) orasidagi φ burchakka teng:
.
Demak, .