Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

II BOB
O’ZGARMAS KOEFFITSIENTLI CHIZIQLI BIR
JINSLI TENGLAMALAR


2.1-§. O’zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli tenglamalar

O’zgarmas koeffitsientli chiziqli bir jinsli

(1)
ko’rinishdagi tenglamani yechish uchun uning xarakteristik tenglamasini
(2)
tuzib olish va uning ildizlarini topish kerak. (1) tenglamaning umumiy yechimi, (2) tenglamaning oddiy ildiziga mos keluvchi va karrali ildiziga mos keluvchi
(3)
hadlar yig’indisidan iborat bo’ladi, bu erda barcha C lar ixtiyoriy o’zgarmaslardir.
(1) tenglamaning koeffitsientlari va xarakteristik ildiz­lari haqiqiy ham, kompleks ham bo’laverishi mumkin.
Misol. tenglamani yeching.
Yechimi. Xarakteristi tenglamasi

yoki

ko’rinishda bo’ladi. Bu tenglamaning oddiy ildizlarga hadlar, 3 karrali ildizga esa had mos keladi. Demak, berilgan tenglamaning umumiy yechimi bu hadlarning yig’indisidan iborat:

Agar (1) tenglamaning barcha koeffitsientlari haqiqiy bo’lsa, uning yechimi xarakteristik ildizlardan birortasi kompleks bo’l­ganda ham haqiqiy ko’rinishda yozish mumkin. (1) tenglamaning umu­miy yechimi (2) tenglamaning o’zaro qo’shma kompleks ildiz­lariga mos keluvchi
(4)
ko’rinishdagi va k karrali kompleks ildizlarga mos keluvchi
(5)
ko’rinishdagi qo’shiluvchilarning yig’indisidan iborat bo’ladi. Bu erda ixtiyoriy o’zgarmaslar, va lar (3) ifodadagiga o’xshash tartibli ko’bhadlar bo’lib, ularning koeffitsientlari ixtiyriy o’zgarmaslardir.
Misol. tenglamani yeching.
Yechimi. Xarakteristik tenglamasi bo’lib, oddiy ildizlarga ega, shuning uchun yechimning ko’rinishi quyidagicha bo’ladi: