Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

2.2-§. Bir jinsli bo’lmagan o’zgarmas koeffitsientli chiziqli tenglamalar

Chiziqli bir jinsli bo’lmagan, o’zgarmas koeffitsientli differensial tenglamaning o’ng tomoni funksiyalarning yig’indisi va ko’paytmasidan iborat bo’lsa, uning xususiy yechimini noma’lum koeffitsientlar metodi bilan qidirish mumkin.

Agar tenglamaning o’ng tomoni ko’rinishda bo’lsa, (bu erda ) xususiy yechim
(6)
ko’rinishda bo’ladi. Bunda – koeffitsientlar hozircha noma’­lum bo’lgan m tartibli ko’phad, S esa quyidagicha aniqlanadi: agar (2) tenglamaning ildizi bo’lmasa, agar tenglamaning p karrali ildizi bo’lsa
ko’phadning koeffitsientlarini topish uchun (6) yechimni berilgan differensial tenglamaga qo’yib, tenglikning o’ng va chap tomonidagi o’xshash hadlarning koeffitsientlarini tenglash kerak.
Agar o’ng tomonida sin va cos lar ishtirok etib qolsa, bizga ma’lumki, ular Eylar formulasi yordamida ko’rsatkichli funksiyalar orqali ifodalash mumkin:
(7)
U holda masala hozir ko’rilgan holga keladi.
Agar tenglama chap tomonining koeffitsientlari haqiqiy bo’lsa, (7) kompleks funksiyalarsiz masalani hal qilish mumkin.
O’ng tomoni
(8)
ko’rinishda bo’lgan tenglamalarda xususiy yechimni
(9)
ko’rinishda qidirish mumkin. Bu erda, agar (2) xarakteristik tenglamaning ildizi bo’lmasa, aks holda S ildizning karraligi, va – m-tartibli ko’phadlar, va ko’phadlarning koeffitsientlarini topib olish uchun (9) xususiy yechimi berilgan tenglamaga qo’yib, tenglikning o’ng va chap tomonidagi o’xshash hadlarning koeffitsientlarini tenglashtirish kerak.
Shuni ham ta’kidlab o’tish kerakki, bir jinsli bo’lmagan chiziqli tenglamaning umumiy yechimi, shu tenglamaning bitta xususiy yechimi bilan unga mos kelgan bir jinsli tenglamalari yig’indisiga teng. Undan tashqari, agar tenglamaning o’ng tomoni bir nechta funksiyalar yig’indisidan iborat bo’lsa, uning xususiy yechimi shu tenglama chap tomonidagi qo’shiluvchilarning har biriga tenglashtirib olingan tenglamalar xususiy yechimlari yig’indisidan iborat deb qarash mumkin.