Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

Ta’rif: Ushbu
(1)
tenglama hosilaga nisbatan yechilmagan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Ba’zi hollarda (1) tenglamani ga nisbatan yyechish mumkin bo’ladi.
Ta’rif: Ushbu
(2)
tenglama hosilaga nisbatan yechilgan birinchi tartibli oddiy differensial tenglama deyiladi.
Endi (1) va (2) tenglamalar uchun yyechim tushunchasini kiritaylik.
Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun
;
;

shartlar bajarilsa, funksiya (2) tenglamaning intervalda aniqlangan yyechimi deyiladi.
Ta’rif: Agar intervalda aniqlangan funksiya uchun
;
;

shartlar bajarilsa, funksiya (1) tenglamaning intervalda aniqlangan yyechimi deyiladi.
Differensial tenglamaning barcha yyechimlarini topish uni integrallash deb ham yuritiladi.


1.2-§. Differensial tenglamalarga keltiriladigan masalalar

Fizika, mexanika, texnika va iqtisodning juda ko’p masalalarini yechish differensial tenglamalarga keltiriladi.

Fizik masalalar. Fizik masalalarni yyechishda avvalo qaysi miqdorni erkli o’zgaruvchi, qaysinisini izlanayotgan funksiya sifatida olishni aniqlash lozim. Keyin esa x miqdorga orttirma berilganda masalada aytilayotgan u miqdor qanchaga o’zgarishini (ya’ni orqali ni) aniqlash kerak. Olingan tenglikni ikkala qismini ga bo’lib, da limitga o’tsak, differensial tenglamaga ega bo’lamiz, uni yechib, izlanayotgan funksiyani topib olamiz. Ba’zi hollarda hosilaning fizik ma’nosidan foydalanib (agar t erkli o’zgaruvchi bo’lsa, u miqdorning o’zgarish tezligi), differensiyal tenglamani qiyinchiliksiz tuzish mumkin bo’ladi.
Misollar.
1. Ichida 20 l. Suvi bo’lgan idishga har litrda 0,2 kg tuz bulgan qorishma minutiga 5 l. Tezlik bilan uzulksiz quyilayapti. Idishda qorishma suv bilan aralashib, xudi shu tezlikda chiqib ketayapti. 4 minutdan keyin idishdagi tuz miqdori qancha bo’ladi?
Yechimi. orqali t minutdan keyingi idishdagi tuzning miqdori­ni belgilaymiz. oraliqda idishdagi idishdagi tuzning miqdori qanchaga o’zgarishini hisoblaylik. vaqt idishga 5 miqdor qorishma tushadi. Bu qorishmaning tarkibida kg tuz bor.
Shu vaqtning ichida idishdan 5 l qorishma chiqib ketadi. t momentda idishdagi tuzning miqdori kg edi, agar vaqtda idishdagi tuzning miqdori o’zgarmasa, 5 l chiqib ketayotgan aralashma

tuz bor. Umuman olganda idishdagi tuzning miqdori qandaydir α ga o’zgaradi ( ), shuning uchun idishdan vaqtda oqib chiqqan tuzning miqdori kg bo’ladi, bu erda
Shunday qilib vaqt oralig’ida idishga kg tuz tushadi, kg tuz idishdan oqib chiqadi. Bundan

tenglikni olamiz. Tenglikni har ikkala tomoni ga bo’lib, da limitga o’tamiz. Agar biz da ekanligini e’tiborga olsak, differensiyal tenglamani olamiz. Bu tengla­maning umumiy integrali ko’rinishda bo’ladi. da idishdagi tuzning miqdori bo’lganligi uchun

demak, Shunday qilib, idishdagi tuzning miqdori

qonun bilan o’zgaradi. momentdagi tuzning miqdori kg ga teng bo’ladi.
2. Uzunligi L va diametri D bo’lgan temir temir yo’l sisternasi kerosin bilan to’ldirilgan. Kerosin sisterna ostida joylashgan va kesim yuzi ω bo’lgan qisqa chiqish naychasi orqali oqizib yuborilganda sisterna qancha vaqtda bo’shashini aniqlang.
Yechimi. Avval bunday umumiy holda qanday hal qilinishini tushuntiramiz. Faraz qilaylik, ko’ndalang kesim yuzi S balandlik h ning ma’lum S = S (h) funksiyasi bo’lgan idish H sathgacha suyuqlik bilan to’ldirilgan bo’lsin. Idish tubida yuzi ω bo’lgan teshik bo’lib, undan suyuqlik oqib chiqadi. Suyuqlik sathi dastlabki H holatdan istalgan h gacha pasayish vaqti t ni va idishning to’la bo’shash vaqti T ni aniqlaymiz. Biz idishdagi suyuqlik sathi ning ma’lum v = v (h) funksiyasi deb faraz qilamiz.
Biror t momentda idishdagi suyuqlik balandligi h ga teng bo’lsin. vaqt oralig’ida idishdan oqib chiqadigan suyuqlik miqdori ΔV ni topaylik: ikkinchi tomondan (pasayganligi uchun manfiy ishora bilan olindi) bo’lgani uchun tenglikni olamiz. Tenglikni har ikki tomoni ga bo’lib, da limitga o’tsak, quyidagi differensial tenglamani olamiz:

Bu tenglamani integrallab,

yechimni olamiz.
Idish to’la bo’shaganda h = 0 bo’lgani uchun uning to’la bo’shash payti T quyidagicha topiladi:

Agar suyuqlik kichik teshikdan yoki qisqa naychadan oqib chiqayotgan bo’lsa, Torrichelli qonuniga muvofiq bu erda g – og’irlik kuchi tezlanishi, μ – empirik koeffitsient (sarf bo’lish koeffitsienti). U holda hosil qilingan ifodalar quyidagi ko’rinishni oladi:

Bizning konkret misolimizda

bo’lgani uchun

3. Massasi m bo’lgan D yuk A nuqtada boshlang’ich tezlik olib ABC bukilgan trubada (1-rasmga qarang) harakat qilyapti. AB bo’lakka yukka og’irlik kuchidan tashqari yukning tezligiga bog’liq bo’lgan R qarshilik kuchi ta’sir etadi. B nuqtadan yuk o’z tezligini o’zgartirmas­-

1-rasm.

dan trubaning BC bo’lagiga o’tadi, bu erda yukka og’irlik kuchidan tashqari F o’zgaruvchi kuch ham ta’sir qiladi. AB va ( – F kuchning x o’qdagi proeksiyasi) ma’lum bo’lsa, yukning BC bo’lak­dagi harakat qonunini toping. Berilgan: m = 2 kg, R = bu erda Topish kerak: yukning BC bo’lakdagi harakat qonuni.

Yechimi. a) Yukni material nuqta deb qarab, AB bo’lakdagi harakatini ko’rib chiqamiz. Yukka (ixtiyoriy holatda) ta’sir qiluvchi va R kuchlar chizmada tasvirlangan. Az o’qni o’tkazib, yukning harakatini shu o’qqa proeksiyasi differensiyal tenglamasini tuzamiz:

bo’lgani uchun

ekanligini e’tiborga olsak, qu­yi­dagi tenglikni olamiz:
(1)
Yozuvni yengillatish uchun
(2)
belgilashlarni kiritamiz (bu erda deb olindi). U holda (1) tenglamani

ko’rinishda yozish mumkin.
O’zgaruvchilarni ajratib, har ikkala tomonini integrallab, quyidagi ifodani olamiz:
(3)
da bo’lgani uchun (3) tenglikka ko’ra Buni (3) tenglikka qo’yib,
yoki
tenglikni olamiz. Buni esa
(4)
tenglikni olamiz. (4) tenglikda lar (2) tenglik orqali ifodalangan ekanligini hisobga olib, yukning V nuqtadagi tezlikni topamiz:

b) Endi yukning BC bo’lakdagi harakatini o’rganamiz: topilgan tezlik yukning yangi bo’lakdagi boshlang’ich tezligi bo’ladi. Yukning ixtiyoriy holatida ta’sir etuvchi kuchlarni F bilgan holda, B nuqtadan Bx o’qni o’tkazib, uning harakatini shu o’qqa proeksiyasi differensial tenglamasini tuzamiz:
(5)
bo’lgani uchun (5) tenglama quyidagi ko’rinishni oladi

ekanligini e’tiborga olib, tenglamani integrallasak
(6)
ga ega bo’lamiz. t = 0 da bo’lgani uchun (6) tenglikdan quyidagini olamiz

Buni (6) ga qo’yib, har ikkala tomonini dt ga ko’paytirib integrallasak

kelib chiqadi. t = 0 da x = 0 bo’lgani uchun bo’ladi. Demak, yukning BC bo’lakdagi harakat qonuni

ko’rinishda bo’ladi (bu erda x materiallarda, t esa sekundlarda o’lchangan).