Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan

2-teorema. Har bir yaqinlashuvchi ketma-ketlik faqat bitta limit nuqtaga ega bo’lib bu nuqta ketma-ketlikning limiti bilan usma-ust tushadi.

Isbot. Yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limiti uning limit nuqtasi bo’ladi, nuqtaning ixtiyoriy biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning hamma elementlari yotadi. Endi yaqinlashuvchi ketma-ketlikning boshqa limit nuqtasi yo’qligini ko’rsatamiz. Haqiqatdan ham - yaqinlashuvchi ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’lsin. Teoremaga asosan ketma-ketlikdan ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin, lekin yaqinlashuvchi ketma-ketlikning ixtiyoriy qismiy ketma-ketligi a limitga ega va shuning uchun .
Ikkita limit nuqtaga ega bo’lgan ketma-ketlikka misol keltiramiz. Ushbu ketma-ketlik faqat ikkita 0 va 2 limit nuqtalarga ega ekanligini
isbotlaymiz. Ma’lumki bu nuqtalar ketma-ketlikning limit nuqtalaridir. Chunki bu ketma-ketlikning ushbu qismiy ketma-ketligining limiti noldan iborat. qismiy ketma-ketligining limiti esa ( 2-ta’rif: agar ketma-ketlikdan x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa, x nuqta ning limit nuqtasi deyiladi) dan iborat. Berilgan ketma-ketlikning boshqa nuqtalari yo’q haqiqatdan ham -son o’qining va nuqtalardan farqli ixtiyoriy nuqtasi bo’lsin. Endi ustma-ust tushmaydigan atroflarini qaraymiz. va nuqtalrning atroflarida biror nomerdan boshlab ketma-ketlikning hamma elementlari yotadi va shuning uchun nuqtaning ko’rsatilayotgan atrofida ketma-ketlikning faqat chekli sondagi elementlari yotadi, ya’ni limit nuqta bo’la olmaydi.