Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi “Matematik analiz” fanidan

2-misol. bo‘lishini ko‘rsatamiz. Buning uchun olamiz. Misolning shartidan topamiz:

tengsizlikni qanoatlantiruvchi ning qiymatlarini topish uchun
tengsizlikni yechamiz:
nomer sifatida sonining butun qismini, ya’ni sonini olish mumkin. Bunda son olinganda ham uchun bo‘ladi. U holda ketma-ketlik limitining ta’rifiga asosan
.
Ma’lumki, tengsizlik had nuqtaning atrofiga tushishni bildiradi.
Shu sababli ketma-ketlikning limiti ta’rifini quyidagicha talqin qilish mumkin: agar bo‘lsa, u holda nuqtaning istalgan atrofi uchun shunday nomer topiladiki, no-merli barcha nuqtalar nuqtaning atrofiga, ya’ni intervalda yotadi va bu intervaldan tashqarida berilgan ketma-ketlikning chekli sondagi nuqtalari joylashishi mumkin (1-shakl). Bu jumla ketma-ketlik limitining
geometrik ma’nosini anglatadi.
17-ta’rif. Agar cheksiz to’g’ri chiziqning nuqtasining ixtiyoriy ketma-ketlikning cheksiz ko’p hadlari bor bo’lsa, u holda, shu nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi deyiladi.
1-teorema. Agar nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’lsa , u holda bu ketma-ketlikdan shu nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin.
Isbot. nuqta ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’lsin. nuqtaning nuqtani qaraymiz bunda navbat bilan ga teng. Bu atroflarning birinchisidan ketma-ketlikning elementini olamiz, ikkinchi atrofidan shunday olamizki bunda, . Uchinchi atrofdan shunday elementni olamizki, bunda . Bu jarayonni cheksiz davom ettirish mumkin, chunki element ning ixtiyoriy ketma-ketlikning cheksiz ko’p elementlari bor. Natijada biz ketma-ketlikning ga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketligiga ega bo’lamiz chunki, . teorema isbotlandi.
Teskari tasdiq ham o’rinli: agar ketma-ketlikdan nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa, u holda soni ketma-ketlikning limit nuqtasi bo’ladi. Haqiqatdan ham, nuqtaning ixtiyoriy ajratilgan qismiy ketma-ketlikning va ketma-ketlikning cheksiz ko’p elemetlari yotadi. Shunday qilib, ketma-ketlik limit nuqtasining 1-ta’rifiga teng kuchli bo’lgan 2-ta’rifni berish mumkin.
18-ta’rif. Agar ketma-ketlikdan x nuqtaga yaqinlashuvchi qismiy ketma-ketlik ajratish mumkin bo’lsa, x nuqta ning limit nuqtasi deyiladi.