Farg’ona davlat universiteti “Matematik analiz va differensial tenglamalar” kafedrasi

1-ta’rif. Ushbu
(6)
ko’rinishdagi qatorga, umumlashgan darajali qator deyiladi, ,u yerda berilgan son, darajali qator esa biror da yaqinlashuvchi. Ma’lumki, agar nomanfiy butun son bo’lsa (6) qator, darajali qator bo’ladi.
2-teorema. Agar nuqta (1) tenglamaning maxsus nuqtasi bo’lib,
(7) bu yerda va darajali qatorlar biror da yaqinlashuvchi) bo’lsa, hamda koeffisiyentlar bir paytda nolga aylanmasa, u holda (1) tenglama hech bo’lmaganda bitta
(8)
ko’rinishdagi yechimga ega bo’lib, darajali qator hech bo’lmaganda da yaqinlashuvchi bo’ladi.
(1) tenglamaning maxsus nuqta atrofidagi (8) ko’rinishdagi umumlashgan darajali qator tarzidagi yechimini izlash uchun, (8) ning kerakli tartibli hosilalari hisoblanadi va (1) tenglamaga qo’yiladi hamda ning turli darajalari oldidagi koeffisiyentlari nolga tenglashtiriladi.
Umumiylikga ziyon yetkazmay deb farazqilsak, ning oldidagi koeffisiyentini nolga tenglashtirish natijasida ni aniqlash mumkin bo’lgan quyidagi
(9)
kvadrat tenglamani hosil qilamiz, bu yerda
(10)
(9) tenglamaga aniqlovchi tenglama deyiladi. Aniqlovchi tenglamaning ildizlariga qarab (1)tenglamaning yechimlari aniqlanadi. Agar (9) tenglamaning va ildizlari turli bo’lsa, (1) tenglama har doim (8) ko’rinishdagi, ya’ni
₍₁₁₎
yechimga ega bo’ladi. Agar musbat butun son bo’lmasa, u holda (1) tenglama ildizda mos umumlashgan qator ko’rinishdagi
(12)
yechimga ham ega bo’ladi. Agar musbat butun son bo’lsa, u holda 2-xususiy yechim (11) ko’rishda yoki

ko’rishda bo’lad i.
Nihoyat, agar (9) tenglamaning va ildizlari bir xil bo’lsa, ya’ni bo’lsa, umumlashgan darajali qator ko’rinshda bitta xususiy yechimga ega bo’ladi, ikkinchi xususiy yechimda qatnashgan bo’ladi va uni
(13)
ko’rinishda izlash kerak bo’ladi.