Fanning o‘quv-uslubiy majmuasi o‘quv reja va namunaviy o‘quv dasturiga muvofiq ishlab chiqildi

Оддий дифференциал тенгламаларни такрибий ечиш усуллари


Асосий саволлар

1. 
   Эйлер усули
   
2. 
   Эйлер усулининг геометрик маъноси
   
3. 
   Рунге-Кутта усули
   
4. 
   Эйлер, Рунге-Кутта усулларининг сонли якинлашишини курсатувчи мисоллар.
   

Таянч иборалар: Баландлик. синик чизик, хато, бошлангич шарт.


1. Эйлер усули

Фараз киламиз бошлангич шартга эга булган

(1)
дифференциал тенглама берилган булсин
Этарлича кичик кадам олиб тенг узокликда жойлашган тугун нукталар системасини тузамиз.
(2)
нуктадан утувчи ахтарилаётган интеграл эгри чизикни такрибий равишда баландликга эга булган синик чизик билан алмаштириб оламиз ва бу синик чизикни звеноси тугри чизиклар орасида жойлашган булиб
(3)
баландликга эга.
Шундай килиб Эйлер синик чизикининг звеноси хар бир баландликга эга булган кисми нуктадан утувчи интеграл эгри чизик йуналишига эга булган йуналишга эга булади.

(3) формуладан куринадики -нинг кийматлари куйидаги формула билан топилади.

Бу Эйлер методининг асосий формуласи хисобланади.
Эйлер методининг синик чизикини геометрик тузилишини куриш учун кутб нукта олиб ординат укига кесмани белгиламиз. Табиийки нурнинг бурчак коэффициенти га тенг булади. Шунинг учун Эйлер синик чизикини хосил килиш учун нуктадан нурга паралел килиб чизикни утказиш кифоя. Бу чизик то нуктагача давом эттирилади. (яъни нуктагача).
нуктани бошлангич нукта деб ордината укига кесмани белгилаймиз ва нурга паралел булган чизикни утказамиз то нуктагача ва хо казо.
Эйлер методи дифференциал тенгламаларни интеграллашни оддий методларидан хисобланади.
Эйлер методи куйидаги камчиликларга эга.

1. 
   Кичик аниклик
   
2. 
   Хатони йигилиб бориши
   

Эйлер усули умуман олганда кадамни -нинг кичик кийматлари учун коникарли натижа беради, чунки Эйлер методининг асосий гояси (1) –чи дифференциал тенгламанинг интеграли. Хар бир хусусий кесмада Тейлор каторининг 2 та хади билан тасвирланади, яъни

бунинг берилган кесмадаги хатосининг тартиби га тенг.
Бундан ташкари хар бир кадамдаги ечимни хосил килиш учун бошлангич шартга куйилган хато такрорланади ва бу якуний натижага таъсир курсатади.
Мисол: Куйидаги системани Эйлер усули билан такрибий кийматлари хисоблансин.
(1)
Бошлангич шартларни

каноатлантиради

бу ердан
деб
-ни топамиз.

Эйлер методи система учун жуда содда кенгайтирилади.
(1)
(2)
(1)-чи векторли тенгламани интеграл формада ёзамиз

-кетма-кет якинлашишлар куйидаги формула оркали топилади.

одатда
деб олинади.
Мисол: Эйлер методини куллаб кесмада бошлангич шартга эга булган тенгламани жадвал шаклидаги ечимини топиш максади куйилади.
Кадам кадам олиб куйидаги жадвални тузамиз