Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Nochiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Broyden va Steffensen usullari Tayyorladi

Parametrlarni qo’zg’atish usuli.
Bu usulning g’oyasi quyidagicha. Dastlab tenglamalar sistemasi bilan bir qatorda avvaldan uning yechimi ma’lum bo’lgan quyidagi biror tenglamalar sistemasi qaraladi:
(1.2.14)
Bunga misol qilib chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini olish mumkin. (1.2.14) tenglamalar sistemasinining chap tarafini shunday o’zgartiramizki, u biror K songa nisbatan tenglamaning chap tarafiga qo’yilib, uni quyidagi ko’rinishga keltirsin:
(1.2.15)
bu yerda k = 0,1,…,K. Agar K ning qiymati kattaroq tanlansa bu funksiyalar qiymatlarining ketma-ket o’zgarishi kichrayib boradi. Har bir o’zgartirishdan keyin parametrlari qo’zg’atilgan ushbu
(1.2.16)
tenglamalar sistemasi iteratsion usullar bilan yechib boriladi.
(1.2.14) tenglamalar sistemasining yechimi (1.2.16) uchun k = 0 da boshlang’ich yaqinlash deb foydalaniladi. (1.2.16) tenglamalar sistemasining yechimi (1.2.14) sistema yechimidan kam farq qilganligi uchun iteratsion jarayonning yaqinlashish ta’minlanadi deb hisoblashimiz mumkin. Shundan keyin olingan yechim (1.2.16) sistemaning k = 1 dagi boshlang’ich yaqinlashishi deb qaraladi va hokazo. Oxiriga borib, k = K-1 bo’lganda hosil bo’lgan (1.2.16) tenglamalar sistemasi dastlabki tenglamalar sistemasiga ekvivalent bo’lib qoladi.
Shunday qilib, parametrlarni qo’zgatish usulining boshlang’ich yaqinlashishini tanlash masalasi yechiladi.
Bu usulning noqulayligi shundaki, (1.2.14) tenglamalar sistemasini yechiladigan tenglamalar sistemasiga aylantirish katta hisob qadamlarini (hatto 10 dan 100 gacha) talab qilishi mumkin. Shuning ushun, bu usulning qo’llanilishi mashinada juda katta hisob vaqtini talab qilishi mumkin. Bu usulning afzalligi shundaki, (1.2.15) sistema muvaffaqiyatli yechilganda (1.2.16) sistemaning yechimi bir necha iteratsiya qadamlardagina topilishi mumkin.
Pikar iteratsiyalari.
Bir qator hollarda sistema maxsus ko’rinishga ega bo’lib, u vektor-matritsa ko’rinishida quyidagicha yoziladi:
Ax  f(x) = 0, (1.2.17)
bu yerda A – berilgan aynimagan matritsa; f – nochiziqli vektor-funksiya. Bunday tenglamalar sistemasiga, masalan, nochiziqli chegaraviy masalalarni chekli ayirmalar usuli bilan yechishda kelinadi.
(1.2.17) sistema uchun quyidagi iteratsion prosedura o’rinli:
(1.2.18)
va u Pikar iteratsiyalari deb ataladi. Iteratsion algoritmni ixcham yozish maqsadida (1.2.18) formulada A^-1 teskari matritsadan foydalanildi. Aslida esa iteratsiyaning har bir qadamida quyidagi chiziqli algebraik tenglamalar sistemasi yechiladi:
.
Pikar iteratsiyalarini quyidagi umumlashgan iteratsiyon jarayonning xususiy holi deb qarash mumkin:
, (1.2.19)
bu yerda B – berilgan aynimagan matritsa. Bu yerdan ko’rinadiki, agar
va
bo’lsa, u holda (1.2.19) tenglik (1.2.18) ga aylanadi. Agar B matritsa boshqacharoq tanlansa, u holda boshqa bir necha algoritmlar yuzaga keladi, xususan, Nyuton usuli algoritmlari va ko’p o’chovli kesuvchilar usuli.