Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Nochiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Broyden va Steffensen usullari Tayyorladi

1.2. Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli), Oddiy iteratsiya 2 usuli, Zeydel usuli, Parametrlarni qo’zg’atish usuli, Pikar iteratsiyalari.
Iteratsiyalar usuli (ketma-ket yaqinlashishlar usuli)
Yuqoridagi (1.1.1) nochiziqli tenglamalar sistemasi ushbu
(1.2.1)
ko’rinishga keltirilgan bo’lsin, bu yerda - haqiqiy funksiyalar bo’lib, ular bu sistema izolyatsiyalangan yechimining biror atrofida aniqlangan va uzluksiz.
Qulaylik uchun quyidagi vektorni kiritamiz:
va .
U holda (1.2.1) ni quyidagi vektor shaklida yozish mumkin:

. (1.2.2) tenglamaning vektor ildizini topish uchun ko’pincha quyidagi iteratsiyalar usulini qo’llash juda qulay: , , (1.2.3) yoki , bu yerda yuqoridagi indeks iteratsiyalar yaqinla-shishi nomerini bildiradi; - boshlang’ich yaqinlashish. Usulning blok-sxemali algoritmi 1.2.6-chizmada tasvirlangan.	(1.2.2)
	1.2.6 chizmada Nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun iteratsiyalar usulining blok-sxemali algoritmi.

Agar (1.2.3) iteratsion jarayon yaqinlashivchan bo’lsa, u holda ushbu
(1.2.4)
limitik qiymat (1.2.16) tenglamaning ildizi bo’ladi.
Haqiqatdan ham, agar (1.2.4) munosabat bajarilgan desak, u holda (1.2.3) tenglikda bo’yicha limitga o’tib, funksiyalarning uzluksizligidan quyidagiga ega bo’lamiz:
,
ya’ni .
Shunday qilib,  (1.2.2) vektor tenglamaning ildizi.
Agar, bundan tashqari, barcha yaqinlashishlar biror - sohaga tegishli bo’lsa, u holda ekanligi yaqqol ko’rinadi.
Soddaroq qilib aytganda, (1.2.3) iteratsion jarayon =  boshlang’ich yaqinlashishdan boshlanib, bitta iteratsiyadan keyin barcha argumentlar orttirmasining moduli berilgan ε miqdordan kichik bo’lmagincha davom ettiriladi, ya’ni
.
Bu shartga teng kuchli bo’lgan quyidagi shartdan ham foydalanish mumkin:

Oddiy iteratsiya usuli dasturlash uchun juda qulay, ammo u quyidagi muhim kamchiliklarga ega:
a) , bu yerda ’ - vektor-funksiya  ning Yakob matritsasi, belgi bilan esa matritsa normasi kiritilgan: ;
b) agar boshlang’ich yaqinlashish aniq yechimdan uzoqroq tanlangan bo’lsa, u holda a) shart bajarilishiga qaramasdan, usulning yaqinlashishiga kafolat yo’q; demak, boshlang’ich yaqinlashishni tanlashning o’zi ham soda emas ekan;
c) iteratsion jarayon juda sekin yaqinlashadi.