Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Nochiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Broyden va Steffensen usullari Tayyorladi

1.3. Broyden usuli, Tezkor tushush usuli (Gradiyent usuli), Relaksasiya usuli.
Broyden usuli.
Nyuton-Rafson usuli juda yaxshi yaqinlashishni beradi, ammo Yakob matritsasining teskarisini hisoblash juda ko’p mashina vaqtini oladi. Bunday hollarda Yakob matritsasini hisoblash o’rniga biror boshqa yaqinlashishni tuzish uslubi kvazinyuton algoritlari deb ham ataladi. Ana shunday usullardan biri bu 1965 yilda taklif etilgan Broyden usuli bo’lib, u Nyuton-Rafson usulining takomillashtirilgan varianti hamda u yuqorida ta’kidlangan kamchilikdan holi. Bu usulning quyidagi ikkita muhim farqlari mavjud:
1.Iteratsiyalarning har bir qadamida Yakob matritsasi to’g’risi yoki teskarisi hisoblanmaydi, o’zgaruvchilar chetlashishini sonli baholash uchun qo’shimcha funksiyalar hisoblanilmaydi, faqatgina sxema o’zgarmas matritsasining mavjudligini topishdagi funksiyalardangina foydalaniladi;
2.Yechimning yaqinlashishini ko’rsatuvchi so’nish koeffisiyenti har bir iteratsiyada hisoblanadi, bu o’z navbatida, Broyden usulining yutug’i bo’lib, Nyuton-Rafson usuli yaqinlashishni kafolat bera olmaydi. Bundan tashqari, bu koeffisiyent hatto, hali yechim topilmagan bo’lsa ham, hisoblash xatoligini baholash imkonini beradi.
Broyden usulining mazmuni quyidagicha:
Nyuton-Rafson formulasi bo’yicha navbatdagi x^(k+1) yaqinlashishni olish uchun k-yaqinlashishga tuzatma vektor qo’shiladi, ya’ni:
; .
Broyden usulida bu tuzatmaning hammasidan emas, balki uning bir qismidan foydalanilmaydi:
,
bu yerda - skalyar koeffisiyent shunday tanlanadiki, vektor yoki uning maksimal qiymat qabul qiluvchi elementi normasi minimumlashtiriladi (yoki kamaytiriladi). Agar Nyuton-Rafson usulining yaqinlashishi ta’minlangan bo’lsa, u holda >1 ni tanlash hisobiga Broyden usuli juda katta yaqinlashishga erishadi. Aksincha, agar Nyuton-Rafson usulining yaqinlashishi ta’minlangan bo’lsa, u holda <1 ni tanlash hisobiga bu yaqinlashish ta’minlanadi.
Broyden usuli Yakob matritsasi va uning teskarisini hisoblash bilan bog’liq bo’lgan Nyuton-Rafson usulining qiyinchiligini bartaraf qiladi. Bunga iteratsiyaning har bir qadamida Yakob matritsasining o’rniga quyidagi formula bilan berilgan yaqinlashishni hisoblash evaziga erishiladi:
(1.3.1)
Broyden usulining algoritmi quyidagicha:

1. 
   x⁽⁰⁾ boshlang’ich yaqinlashish tanlanadi.
   
2. 
   Yakob matritsasi W⁽⁰⁾ ning teskarisini hisoblash bilan H⁽⁰⁾ matritsaning boshlang’ich qiymati hisoblanadi.
   
3. 
   , k=0,1,2, … hisoblanadi.
   
4. 
   hisoblanadi.
   
5. 
   koeffisiyent shunday tanlanadiki, bo’lsin.
   
6. 
   hisoblanadi.
   
7. 
   matritsa normasining yaqinlashishi tekshiriladi.
   
8. 
   hisoblanadi.
   
9. 
   matritsa (1.3.1) formula bo’yicha hisoblanadi.
   
10. 
    Hisoblash jarayoni 3-qadamdan takrorlanadi.