Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Nochiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Broyden va Steffensen usullari Tayyorladi

Oddiy iteratsiya usuli.
Iteratsiyalar usulini dastlabki umumiy sistemaga ham qo’llash mumkin, bu yerda  vektor-funksiya bo’lib, izolyatsiyalangan - vektor-ildiz atrofida aniqlangan va uzluksiz.
Masalan, bu sistemani quyidagi ko’rinishda yozaylik:

bu yerda  xosmas matritsa. Quyidagi belgilashni kiritamiz:
. (1.2.5)
U holda quyidagiga ega bo’lamiz:
. (1.2.6)
Agar funksiya  uzluksiz hosilaga ega bo’lsa, u holda (1.2.6) formuladan quyidagi tenglik kelib chiqadi:
. (1.2.7)
Agar o’zining normasi bo’yicha kichik bo’lsa, u holda (1.2.7) tenglama uchun iteratsiyalar jarayoni tez yaqinlashadi. Bu holatni e’tiborga olib, A matritsani shunday tanlaymizki, ushbu

tenglik bajarilsin. Bu yerdan, agar - xosmas bo’lsa, u holda quyidagi tenglikka ega bo’lamiz:
. (1.2.8)
Shuni ta’kidlash muminki, bu mazmunan Nyuton modifikatsion jarayonining (1.2.8) tenglamaga qo’llanilishi demakdir.
Xususan, agar bo’lsa, u holda boshqa - boshlang’ich yaqinlashishni tanlash lozim bo’ladi.
Oddiy iteratsiya usuli nafaqat haqiqiy ildizlarni, balki kompleks ildizlarni ham topish imkonini beradi. Oxirgi holda kompleks boshlang’ich yaqinlashishni tanlash lozim bo’ladi.
Xususiy hol. Hisoblashlarni amaliyot uchun qulay bo’lgan n=2 bo’lgan holda ko’rib chiqaylik. sistemani
(1.2.9)
ko’rinishda yozib olamiz. funkiyalar iterasiyalovchi funksiyalar deb yuritiladi. Taqribiy yechimni topish algoritmi
(1.2.10)
ko’rinishda beriladi. Bu yerda - birinchi yaqinlashish qiymatlari.
(1.2.10) iterasion hisoblash jarayoni yaqinlashuvchi bo’ladi, agarda
(1.2.11)
tengsizliklar bajarilsa.
1-Misol. Quyidagi

sistemaning yechimini oddiy iterasiya usulida 0,001 aniqlikda taqribiy hisoblang.