Fanidan tayyorlagan kurs ishi mavzu: Nochiziqli tenglamalar sistemasining yechishning Broyden va Steffensen usullari Tayyorladi

Nyuton-Rafson usuli.
Bu usul nochiziqli tenglamalar sistemasini yechish uchun Nyuton usulining takomillashtirilgan variantlaridan biri hisoblanadi.
Faraz qilaylik, (1.1) yoki (1.1) nochiziqli tenglamalar sistemasi berilgan bo’lsin. Iteratsion formulani hosil qilishimiz uchun f = ( ) vektor-funksiya komponentalari bo’lgan funksiyalarning Teylor qatoriga yoyilmasining ularning birinchi tartibligacha hosilasini o’z ichiga olgan hadlari bilan cheklangan holini olamiz:

Bu yerda ; , (j=1,…n).
Bu tenglamalar sistemasini matritsa ko’rinishida quyidagicha yozish mumkin:

yoki buni belgilashlar bilan soddaroq qilib yozish ham mumkin:
,
Bu yerda ham xuddi yuqoridagidek, W = – Yakob matritsasi.
Bu chiziqli algebraik tenglamalar sistemasini yechib, ni aniqlaymiz:
.
Bu usulning algoritmi quyidagicha:
1. - boshlang’ich yaqinlashish va  - hisob aniqligi beriladi.
2. , (i=1,2,…,n) shartning bajarilishi tekshiriladi; agar u bajarilmasa, u holda 6-qadamga o’tiladi.
3. W – Yakob matritsasi hisoblanadi.
4. tenglamalar sistemasi yechiladi.
5. hisoblanadi va 2-qadamga o’tiladi.
6. x natijalar pechatga chiqariladi.
Nyuton-Rafson usulining nochiziqli tenglamalar sistemasini yechishga qo’llanilishidagi asosiy shart bu Yakob matritsasining teskarisini hisoblashning mumkin yoki mumkin emasligida. Xususan, W^-1 ning taqribiy qiymatini quyidagicha hisoblash mumkin. Faraz qilaylik, W^-1 – Yakob matritsasining k-iteratsiyadagi teskari matritsasi bo’lsin. (k+1)-iteratsiyadan keyin Yakob matritsasi quyidagicha hisoblanadi:
.
Bu yondashuv hamma vaqt ham aniq emas va u bir qator kamchiliklarga ega. Ammo amaliyotdagi ko’plab masalalarda bu oxirgi formula Yakob matritsasini hisoblashni ancha osonlashtiradi.