Eyler usuli. Yaxshilangan Eyler usuli. Klassik Runge-Kutta usuli

Yaxshilangan Eyler usuli

Xuddi shu misolni ko'rib chiqing: differensial tenglama, shartni qanoatlantiradigan ma'lum bir yechim, interval va uning 10 qismga bo'linishi
(har bir qismning uzunligi).
Yaxshilashning maqsadi poliliniyaning "qizil kvadratlarini" aniq yechimning mos keladigan "yashil nuqtalari" ga yaqinlashtirishdir.  .
Va modifikatsiyaning g'oyasi quyidagicha: segmentlar parallel bo'lishi kerak tangens, ular funksiya grafigiga chiziladi chap tomonda emas, lekin bo'linish oraliqlarining "o'rtasida". Bu, albatta, yaqinlashish sifatini oshiradi.
Yechim algoritmi xuddi shu tarzda ishlaydi, ammo formula, siz taxmin qilganingizdek, yanada murakkablashadi:
, qayerda 
Biz ma'lum bir yechimdan yana raqsga tushamiz va darhol "tashqi" funktsiyaning 1-argumentini topamiz:

Endi biz unchalik qo'rqinchli bo'lmagan "yirtqich hayvon" ni topamiz - e'tibor bering, bu SAME funktsiya  , boshqa nuqtada hisoblangan:

Natijani bo'linish bosqichiga ko'paytiramiz:

Shunday qilib:
Algoritm ikkinchi bosqichga o'tadi, men juda dangasa emasman, men uni batafsil yozaman:
juftlikni ko'rib chiqing va "tashqi" funktsiyaning 1-argumentini toping:

Biz uning 2-argumentini hisoblaymiz va topamiz:
Keling, qiymatni hisoblaylik:

va uning har bir qadamdagi mahsuloti:

E xcelda hisob-kitoblarni amalga oshirish maqsadga muvofiqdir (formulalarni xuddi shu tarzda takrorlagandan so'ng - yuqoridagi videoga qarang) va natijalarni jadvalda jamlang:

Raqamlar 4-5-6 kasrgacha yaxlitlanishi kerak. Ko'pincha muayyan vazifa sharoitida mavjud to'g'ridan-to'g'ri ko'rsatma Yaxlitlash qanchalik aniq bo'lishi kerak? Men kuchli "dumli" qiymatlarni 6 belgigacha qisqartirdim.

Natija sezilarli darajada yaxshilandi! - qizil kvadratlar aniq yechimning yashil nuqtalari orqasida amalda "yashirin".
Biroq, mukammallikka hech qanday cheklovlar yo'q. Bir bosh yaxshi, lekin ikkitasi yaxshiroq. Va yana nemis: