Eyler usuli. Yaxshilangan Eyler usuli. Klassik Runge-Kutta usuli

y^”=x²u (7.2.4)

tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 ni qanoatlantiruvchi yechimi topilsin.

Yechish. Bu misol uchun (7.2.3) qator quyidagi ko’rinishda yoziladi:

(7.2.5)

(7.2.4) dan ketma-ket hosila olsak

y⁽³⁾=2xy+x²y ^’

y⁽⁴⁾=2y+2xy ^’+2xy ^’+ x²y ^’’=2y+4xy ^’+ x²y ^’’

y⁽⁵⁾=2y ^’+4y ^’+4xy ^’’+2xy ^’’+ x²y ^’’’=6y ^’+6xy ^’’+ x²y ^’’’

y⁽⁶⁾=12y ^’’+8xy ^’’’+ x²y⁽⁴⁾

y⁽⁷⁾=20y ^’’’+10xy⁽⁴⁾+ x²y⁽⁵⁾

y⁽⁸⁾=30y⁽⁴⁾+12xy⁽⁵⁾+ x²y⁽⁶⁾

Bu tengliklarning har biriga boshlang’ich shartlarni qo’llasak quyidagilarni topamiz:

y^’’(0)=0; y^’’’(0)=0; y⁽⁴⁾(0)=2; y⁽⁵⁾(0)=y⁽⁶⁾(0)=y⁽⁷⁾(0)=0;

y⁽⁸⁾(0)=60.

Bularni (7.2.5) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz:

Differensial tenglamalarni yechimini koeffitsiyentlari noma’lum bo’lgan quyidagi qator ko’rinishida xam izlash mumkin:

y=a₀+a₁(x-x₀) +a₂(x-x₀)²+a₃(x-x₀)³+... (7.2.6)

Bu usulda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ ... quyidagicha topiladi: (7.2.6) dan hosilalar olinib differensial tenglamaga qo’yiladi. So’ngra “x” ning bir xil darajalari oldidagi koeffitsiyentlari bir-birlariga tenglashtiriladi va boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda noma’lum koeffitsiyentlar a₀, a₁, a₂ , ... a_n topiladi. Topilgan koeffitsiyentlarni (7.2.6) ga qo’ysak izlanayotgan yechimni topamiz.

Misol. y^’’=x²u tenglamani boshlang’ich shart u(0)=1, u^’(0)=0 larni qanoatlantiruvchi yechimi noma’lum koeffitsiyentlar usuli yordamida topilsin.

Yechish. x₀=0 bo’lgani uchun yechimni quyidagi qator ko’rinishida qidiramiz:

u=a₀ +a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ+... (7.2.7)

Bundan ikki marta hosila olsak

y^’=a₁ +2a₂x+3a₃x²+4a₄x³+...+na_nx^n-1...

u^’’=2a₂ +6a₃x+12a₄x²+...+ n(n-1) a_n x^n-2...

Boshlang’ich shartlarni hisobga olgan holda a₀=1; a₁=0 ekanligini aniqlaymiz. a₀ va a₁ ni (7.2.7) ga qo’ysak

u=1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+a_nxⁿ

Bu qatorni qolgan koeffitsiyentlarini topish uchun berilgan tenglamadan y^’’-x²y =0 foydalanamiz:

2a₂ +6a₃x+12a₄x²+20a₅x³+30a₆x⁴+...+ n(n-1) a_n x^n-2–

–x²(1+a₂x²+a₃x³+a₄x⁴...+ a_nxⁿ+...)=0.

Bu tenglikni “x” ning darajalari bo’yicha guruhlarga ajratamiz

2a₂+6a₃x+(12a₄–1)x²+20a₅x³+(30a₆ –a₂)x⁴+(42a₇–a₃)x⁵+

+(56a₈–a₄)x⁵...=0.

Biz yechimni x 0 hol uchun qidirayotganimiz uchun “x” ning oldidagi koeffitsiyentlarni “0”ga tenglashimiz lozim bo’ladi, ya’ni a₂=0, a₃=0, 12a₄–1=0 .

Bundan a₄= ; a₅=0; 30a₆-a₂=0; a₆=0 ;a₇=0 va 56a₈-a₄=0 x.k.

Shularni hisobga olgan holda yechimni quyidagicha yozish mumkin

u=1+ x⁴+ x⁸...

Galerkin usuli

Differensial tenglamalarga qo’yilgan chegaraviy masalalarni yechishda taqribiy- varasion usullardan biri Galerkin usulini qo’llash maqsadga muofiq bo’ladi. Bu usulda tenglamani yechimi tanlab olingan funktsiyalar yig’indisi ko’rinishida bo’ladi. Bu usulni ikkinchi tartibli chiziqli differensial tenglamaga qo’yilgan chegaraviy masalaga qo’llanishini ko’raylik.

Bizga quyidagi chegaraviy masala berilgan bo’lsin:  (7.3.1)

(7.3.2)

(7.3.3)

bu erda, p(x), q(x), f(x)–berilgan funktsiyalar;  -o’zgarmaslar.

Faraz qilamiz, bu chegaraviy masalani yagona, etarlicha differsiallanuvchi yechimi mavjud. Buning uchun, quyidagi shart bajarilishi kerak:

>0,  >0.

Galerkin usuli qo’llash uchun quyidagi shartlarni bajaruvchi funktsiyalar tizimini  tanlab olamiz:

1) Bu funktsiyalar uzluksiz va ikkinchi tartibgacha uzluksiz hosilalarga ega  S² .

2) Ixtiyoriy n uchun funktsiyalar  da

chiziqli bog’liq emas.

3) 

4) (7.3.1),(7.3.2) shartlarni bajaruvchi  funktsiyalar

S²  to’plamda to’la gruppani tashkil etadi.

Bu shartlarni bajaruvchi funktsiyalarga koordinat funktsiyalar deb ataladi.

Berilgan masalani yechimi quyidagi ko’rinishda

(7.3.4)

qidiramiz.

Noma’lum a₁, a₂,..., a_n koeffitsiyentlar quyidagi shartlardan topiladi:

bu erda

R (x, a₁ ,a₂ ,... a_n) = y^’’_n(x) + p(x)y^’_n(x) - q(x)y_n(x) - f(x).

Oxirgi integral tenglikdan quyidagi algebraik tenglamalar tizimini hosil qilamiz:

 (7.3.5)

bu erda

Hosil qilingan (7.3.5) tenglamalar tizimidan noma’lum koeffitsiyentlar topilib, (7.3.4) ga qo’yiladi, natijada berilgan masalani taqribiy yechimi topiladi.

Galerkin usulini taqribiy yechimining aniqligi koordinat funktsiyalar soniga (n) va ularni qanday tanlab olinishiga bog’liq.

Misol. Galerkin usuli yordamida quyidagi chegaraviy masalani

y^’’(x)+2xy^’(x)-2y(x)=2x², 0 x 1,

y^’(0)=-2, y(1)+y’(1)=0

taqribiy yechimini toping.

Yechish. Koordinat funktsiyalarni  ... , darajali funktsiyalar 1, x, x², ... kombinasiyasi sifatida olamiz.

funktsiya chegaraviy shartlarni   qanotlantirishini xisobga olsak   ekanligini topamiz.

funktsiyalar esa bir jinsli chegaraviy shartlarni  qanotlantirishi kerak. U xolda, bu funktsiyalarni  ko’rinishda olsak, noma’lum parametrlarni topib, koordinat funktsiyalarni

hosil qilamiz.

U holda Galerkin tenglamalar tizimidan

noma’lum koeffitsiyentlarni topamiz:

a₁=1,14852, a₂=-0,13498.

Natijada, berilgan chegaraviy masalani taqribiy yechimini hosil qilamiz:

y(x) 1,094-2x+1,149x²-0,135x³.

Eyler usuli

Ushbu bo’limning yuqori paragraflarida ko’rilgan usullar taqribiy analitik usullar bo’lib, bu hollarda yechimlar analitik (formula) ko’rinishlarida olindi. Bu usullar bilan topilgan yechimni aniqlik darajasi haqida yuritish birmuncha murakkab bo’ladi.

Masalan, ketma-ket differensiallash usulini qo’llaganda qatorning juda ko’p hadlarini hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda shu qatorni umumiy hadini aniqlab bo’lmaydi. Pikar algoritmini qo’llaganimizda esa, juda murakkab integrallarni hisoblashga to’g’ri keladi va ko’p hollarda integral ostidagi funktsiyalar elementar funktsiyalar orqali ifodalanmaydi. Amaliy masalalarni yechganda, yechimlarni formula ko’rinishida emas, balki jadval ko’rinishida olingani qulay bo’ladi.

Differensial tenglamalarni sonli usullar bilan yechganda yechimlar jadval ko’rinishida olinadi. Amaliy masalalarni yechishda ko’p qo’llanadigan Eyler va Runge–Kutta usullarini ko’rib chiqamiz.

Runge – Kutta usuli

Runge – Kutta usuli ko’p jixatdan Eyler usuliga o’xshash, ammo aniqlik darajasi Eyler usuliga nisbatan yuqori bo’lgan usullardan biridir. Runge – Kutta usuli bilan amaliy masalalarni yechish juda qulay. Buning sababi, bu usul orqali noma’lum funktsiyani x_i+1 dagi qiymatini topish uchun uning x_i dagi qiymati aniq bo’lishi etarli.

Runge – Kutta usulini uning aniqlash darajasi bo’yicha bir nyecha usullarga ajratadilar. Shulardan amaliyotda eng ko’p qo’llanadigani to’rtinchi darajali aniqlikdagi Runge – Kutta usulidir.

Birinchi tartibli differensial tenglama y^’=f(x,y) uchun x=x_i da y=y_i (i=0,1,2, ...n) qiymatlar ma’lum bo’lsin. Bu erda “u_i” boshlang’ich shart ma’nosida bo’lmasligi ham mumkin.

Tenglamaning yechimi qidirilayotgan kesma [a,b], x_i=x₀+ih (i=0,1,2,...n) nuqtalar bilan bir-biriga teng “n” ta bo’lakka bo’lingan.

Noma’lum funktsiya “u” ni x=x_i+1 dagi qiymati y_i+1= y(x_i+1) ni topish uchun quyidagi ketma-ket hisoblash jarayonini amalga oshirmoq lozim bo’ladi: