Eyler usuli. Yaxshilangan Eyler usuli. Klassik Runge-Kutta usuli

Klassik 4-tartibli Runge-Kutta usuli

Uning maqsadi “qizil kvadratlar”ni “yashil nuqtalar”ga yanada yaqinlashtirishga erishishdir. Qanchalik yaqin, deb so'rayapsizmi? Ko'pchilikda, xususan, jismoniy tadqiqotlar, 10-chi, hatto 50-chi aniq kasr nuqtasi. Yo'q, bunday aniqlikka oddiy Eyler usuli bilan erishish mumkin, ammo bo'shliqni QANCHA QISMGA bo'lish kerak bo'ladi?! ... Garchi zamonaviy hisoblash quvvati bilan bu muammo emas - Xitoy kosmik kemasining minglab stokerlari kafolatlanadi!
Va, sarlavha to'g'ri ko'rsatganidek, Runge-Kutta usulidan foydalanganda har qadamda funksiyaning qiymatini hisoblashimiz kerak  4 marta (oldingi xatboshidagi ikki tomonlama hisob-kitobdan farqli o'laroq). Ammo, agar siz xitoyliklarni yollagan bo'lsangiz, bu vazifa juda qiyin. Har bir keyingi "yunoncha" qiymat avvalgisidan olinadi - biz formulalarni ushlaymiz:
, qayerda  , bu erda:

DIFFERENSIAL TENGLAMALARNI TAQRIBIY

YECHISH USULLARI
Differensial tenglamalarni yuqori bo’limlardagidek aniq yechimini topish juda kamdan kam hollardagina mumkin bo’ladi. Amaliyotda uchraydigan ko’plab masalalarga aniq yechish usullarini qo’lashning iloji bo’lmaydi. Shuning uchun bunday differensial tenglamalarni taqribiy yoki sonli usular yordamida yechishga to’g’ri keladi.

Taqribiy usullar deb shunday usullarga aytiladiki, bu hollarda yechimlar biror funktsiyalar (masalan, elementar funktsiyalar) ketma-ketligining limiti ko’rinishida olinadi.

Sonli usullar - noma’lum funktsiyaning chekli nuqtalar to’plamidagi taqribiy qiymatlarini xisoblash usullaridir. Bu xollarda yechimlar sonli jadvallar ko’rinishida ifadalanadi.

Hisoblash matematikasida yuqorida keltirilgan bu guruhlarga tegishli bo’lgan ko’plab usullar ishlab chiqilgan. Bu usullarning bir-birlariga nisbatan o’z kamchiliklari va ustunliklari mavjud. Muhandislik masalalarini yechishda shularni hisobga olgan holda u yoki bu usulni tanlab olish lozim bo’ladi.

Ketma-ket yaqinlashish usuli. (Pikar algoritmi)

Pikar usuli birinchi guruhga tegishli taqribiy usullardan bo’lib amaliy masalalarni yechishda qo’llash mumkin.

Bizga,

y^’=f(x,y) (7.1.1)

birinchi tartibli differensial tenglamaning u(x₀)=u₀ - boshlang’ich shartni qanoatlantiruvchi yechimini topish masalasi qo’yilsin. Differensial tenglamaning o’ng tomoni f(x,y) funktsiya {|x-x₀| a; |y-y₀| b} to’rtburchakda uzluksiz va «u» bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega bo’lsin.

(7.1.1) dan

dy=f(x,u)dx

ifodani ikkala tomonini «x₀» dan «x» gacha integrallasak

(7.1.2)

Bundan, boshlang’ich shartni hisobga olgan holda

(7.1.3)

Noma’lum funktsiya integral ifodasi ostida qatnashganligi uchun hosil bo’lgan (7.1.3) tenglamani integral tenglama deb ataladi.

(7.1.3) da f(x,y) funktsiyadagi “u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u₀”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u₁(x) ni topamiz:

(7.1.4)

Endi (7.1.3) dagi f(x,y) funktsiyaning “u” o’rniga uni ma’lum qiymati “u₁” ni qo’ysak ikkinchi yaqinlashish bo’yicha yechim “u₂(x)” ni hosil qilamiz:

(7.1.5)

Ushbu jarayonni davom ettirsak

(7.1.6)

Shunday qilib quyidagi funktsiyalar ketma-ketligini hosil qildik

u₁(x), u₂(x), u₃(x), ..., u_n(x), (7.1.7)

Bu ketma-ketlik yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’lishi mumkin.

Quyidagi teoremani isbotsiz keltiramiz:

Teorema. Agar (x₀;u₀) nuqta atrofida f(x,y) funktsiya uzluksiz va

chegaralangan xususiy hosilasi f_y (x,y) mavjud bo’lsa, u

holda Pikar {y_i (x)} ketma-ketligi (7.1.1) tenglamaning

yechimi bo’lgan va u(x₀)= u₀ shartni qanoatlantiruvchi u(x)

funktsiyaga yaqinlashadi.

Demak, differensial tenglamalarni yechishda ushbu teoremani shartlari bajarilsa (ya’ni (7.1.7) yaqinlashuvchi bo’lsa) Pikar usulini qo’llash mumkin. Agar (7.1.7) ketma-ketlik uzoqlashuvchi bo’lsa, bu usulni qo’llash mumkin bo’lmaydi.

Misol. Ketma-ket yaqinlashish usuli bilan  tenglamaning x₀=0 da u₀=1 shartni qanoatlantiruvchi xususiy yechimi topilsin.

Yechish. Tenglamani ikkala tomonini «x₀» dan «x» gacha integrallasak

“u”ning o’rniga uning ma’lum qiymati “u₀”ni qo’yib birinchi yaqinlashish bo’yicha yechim u₁(x) ni topamiz:

(7.1.5) ga asosan

Xuddi shuningdek u₃ va u₄ ni ham hisoblasak

Berilgan misoldagi tenglama chiziqli birinchi tartibli differensial tenglama bo’lganligi sababli aniq yechimini topishimiz imkoni bor:

Bundan ko’rinadiki taqribiy yechimlar u₃ va u₄ aniq yechimdan faqat oxirgi hadlari bilan farq qiladilar. Yuqoridagi teorema shartlari bajarganligi sababli bu misol uchun Pikar algoritmi yaqinlashuvchi bo’ladi.

Darajali qatorlar yordamida integrallash

Faraz qilaylik «n» - tartibli differensial tenglama

(7.2.1)

uchun boshlang’ich shartlar berilgan

(7.2.2)

Tenglamaning o’ng tomoni  boshlang’ich nuqta M₀(x₀, u₀, u^’₀, ..., u₀^(n-1)) da analitik funktsiya bo’lsin.

(7.2.1) ning yechimini Teylor qatori (x₀-nuqta atrofida) ko’rinishida qidiramiz:

(7.2.3)
Bu erda |x-x₀|  h, h – etarli kichik son.

Qatorning noma’lum koeffitsiyentlarini topish uchun, tenglamadan kerakli hosilalar olinib, (7.2.2) boshlang’ich shartlardan foydalanilanadi.

Agar x₀=0 bo’lsa, yechim «x»ning darajalari bo’yicha qator ko’rinishida bo’ladi. Yuqorida keltirilgan usulni oddiy differensial tenglamalar tizimi uchun ham qo’llash mumkin.

Misol.