Eyler usuli. Yaxshilangan Eyler usuli. Klassik Runge-Kutta usuli

Eyler usuli. Yaxshilangan Eyler usuli.
Klassik Runge-Kutta usuli
Hisoblash matematikasi va differentsial tenglamalar chetlab o'tmadi! Bugun sinfda biz asoslarni o'rganamiz. taxminiy hisob-kitoblar matematik tahlilning ushbu bo'limida, shundan so'ng sizning oldingizda mavzu bo'yicha qalin, juda qalin kitoblar ochiladi. Hisoblash matematikasi uchun hali diffuz tomonni chetlab o'tmagan =)
Sarlavhada keltirilgan usullar uchun taxminiy yechimlarni topish differensial tenglamalar, masofadan boshqarish tizimlari va eng keng tarqalgan muammoning qisqacha bayoni quyidagicha:
O'ylab ko'ring birinchi tartibli differentsial tenglama buning uchun siz topmoqchisiz shaxsiy yechim dastlabki holatga mos keladi. Bu nima degani? Bu biz topishimiz kerakligini anglatadi funktsiyasi (mavjud deb taxmin qilinadi), bu berilgan farqni qanoatlantiradi. tenglama va grafigi nuqtadan o'tadi.
Ammo bu erda muammo bor - tenglamadagi o'zgaruvchilarni ajratib bo'lmaydi. Ilm-fanga ma'lum emas. Va agar bu mumkin bo'lsa, unda bu chiqadi tushunib bo'lmaydigan integral. Biroq, alohida yechim bor! Va bu erda taxminiy hisob-kitoblar usullari yordamga keladi, bu esa yuqoriga imkon beradi (va ko'pincha eng yuqori) funktsiyani ma'lum bir oraliqda aniqlik bilan "taqlid qilish".
Eyler va Runge-Kutta usullarining g'oyasi syujet parchasini almashtirishdir singan chiziq, va endi biz ushbu g'oya amalda qanday amalga oshirilayotganini bilib olamiz. Va biz nafaqat o'rganamiz, balki to'g'ridan-to'g'ri amalga oshiramiz =) Keling, tarixiy jihatdan birinchi va eng oddiy usuldan boshlaylik. …Siz murakkab differentsial tenglama bilan shug'ullanmoqchimisiz? Men ham xohlamayman :)
Mashq qilish
Qadamli segmentda Eyler usuli yordamida boshlang'ich shartga mos keladigan differensial tenglamaning muayyan yechimini toping. Taxminiy yechimning jadvali va grafigini tuzing.
Biz tushunamiz. Birinchidan, bizda odatiy narsa bor chiziqli tenglama, bu standart usullar bilan hal qilinishi mumkin va shuning uchun darhol aniq echimni topish vasvasasiga qarshi turish juda qiyin:
- xohlovchilar bu funksiya boshlang'ich shartni qanoatlantirishi va tenglamaning ildizi ekanligini tekshirishi va ishonch hosil qilishi mumkin.
Nima qilish kerak? Topish va qurish kerak singan chiziq, bu funksiyaning grafigiga yaqinlashadi  orasida. Ushbu intervalning uzunligi birga teng bo'lgani uchun va qadam , keyin bizning singan chiziq 10 ta segmentdan iborat bo'ladi:
bundan tashqari, nuqta  allaqachon ma'lum - bu dastlabki holatga mos keladi. Bundan tashqari, boshqa nuqtalarning "x" koordinatalari aniq:
Topish uchun chap  . Yo'q farqlash va integratsiya- faqat qo'shish va ko'paytirish! Har bir keyingi "yunoncha" qiymat avvalgisidan oddiy bilan olinadi takrorlanuvchi formula:

Differensial tenglamani quyidagi shaklda ifodalaymiz:
Shunday qilib: 
Biz boshlang'ich holatdan "bo'shatamiz":

Boshlandi:


Hisoblash natijalarini jadvalga kiritish qulay:

Va hisob-kitoblarning o'zi Excelda avtomatlashtirilgan bo'lishi kerak - chunki matematikada nafaqat g'alaba, balki tez yakun ham muhim :) 2 va 3-ustunlarning natijalariga ko'ra, biz chizmadagi qo'shni nuqtalarni bog'laydigan 11 nuqta va 10 ta segmentni chizamiz. Taqqoslash uchun men aniq yechimni chizaman  :

Oddiy Eyler usulining muhim kamchiliklari juda katta xatodir, shu bilan birga xato to'planish tendentsiyasini ko'rish oson - biz nuqtadan qanchalik uzoqlashsak, shunchalik katta bo'ladi. asosan yaqinlik va haqiqat o'rtasidagi nomuvofiqlik kuchayadi. Bu Eyler o'z usulini asoslagan printsipi bilan izohlanadi: segmentlar parallel muvofiq tangens nuqtalardagi funksiya grafigiga. Aytgancha, bu haqiqat chizmada ham aniq ko'rinadi.

Taxminiylikni qanday yaxshilash mumkin? Birinchi fikr bo'limni yaxshilashdir. Segmentni, masalan, 20 qismga bo'ling. Keyin qadam quyidagicha bo'ladi:  , va 20 ta havoladan iborat siniq chiziq muayyan yechimga aniqroq yaqinlashishi aniq. Xuddi shu Excel yordamida 100-1000 va hatto million (!) Oraliq segmentlarni qayta ishlash qiyin bo'lmaydi, lekin o'zimizga savol beraylik: usulni SIFATLI yaxshilash mumkinmi?
Lekin bu savolni ochishdan avval bugun qayta-qayta tilga olinayotgan ismga to‘xtalib o‘tmasdan ilojim yo‘q. O'qish Leonhard Eylerning tarjimai holi, inson o'z hayotida qanchalik aql bovar qilmaydigan darajada ko'p ish qila olishiga hayron qolasiz! Faqat K.F.ni solishtirish mumkin edi. Gauss. ...Shuning uchun biz o'rganish va yangi kashfiyotlar uchun motivatsiyani yo'qotmaslikka harakat qilamiz :))