Deskrept matematika

deskrept matematika

juma, 11 mart [e-mail] tel:[phone], Surxondaryo viloyati, sho`rchi tumani, “Dalvarzn” Egarchi mfy, Hunarmandlar ko`chasi, 5 uy

Возьмите с собой: [masalalar to`plami] Просьба ответить: [deskret matematika va mantiq asoslari]

(y-x)(2x+16y)ln|y+x|

1. 
   Mavzu:
   

GOSTlar
Differensial tenglamalarni yechishning sonli usullari Eyler usuli. Oddiy differensial tenglamalarni yechish. Yaxshilangan Eyler usuli
SFU fizik kimyo kafedrasi (RSU)
SON USULLARI VA DASTURLASHTIRISH
Ma'ruza kursi uchun materiallar
Ma'ruzachi - Art. Rev. Shcherbakov I.N.

ODDIY DIFFERENTSIAL TENGLAMALARNI YECHISH

Muammoni shakllantirish

Ilmiy va muhandislik \

masalalarini hal qilishda ko'pincha ba'zilarini matematik tarzda tavsiflash kerak bo'ladi dinamik tizim... Bu eng yaxshi differensial tenglamalar shaklida amalga oshiriladi ( DU) yoki tizim differensial tenglamalar... Ko'pincha bunday muammo modellashtirish kinetikasi bilan bog'liq muammolarni hal qilishda paydo bo'ladi kimyoviy reaksiyalar va turli xil uzatish hodisalari (issiqlik, massa, impuls) - issiqlik uzatish, aralashtirish, quritish, adsorbsiya, makro va mikrozarrachalarning harakatini tavsiflashda.

Oddiy differentsial tenglama n tartibli (ODE) quyidagi tenglama bo'lib, u istalgan y (x) funksiyaning bir yoki bir nechta hosilalarini o'z ichiga oladi:

Bu yerda y (n) baʼzi y (x) funksiyaning n tartibli hosilasini bildiradi, x mustaqil oʻzgaruvchidir.

Ayrim hollarda differensial tenglamani eng yuqori hosila aniq shaklda ifodalangan shaklga aylantirish mumkin. Belgilanishning bu shakli tenglama deb ataladi, eng yuqori hosilaga nisbatan ruxsat etiladi(bu holda, eng yuqori hosila tenglamaning o'ng tomonida yo'q):

Aynan shu yozuv shakli sifatida qabul qilinadi standart Qayta ko'rib chiqish orqali raqamli usullar ODE yechimlari.

Chiziqli differentsial tenglama y (x) funksiya va uning barcha hosilalariga nisbatan chiziqli tenglamadir.

Masalan, quyida birinchi va ikkinchi darajali chiziqli ODElar keltirilgan

Oddiy differensial tenglamani yechish orqali shunday y (x) funksiya chaqiriladi, u har qanday x uchun ma'lum bir chekli yoki cheksiz oraliqda bu tenglamani qanoatlantiradi. Differensial tenglamani yechish jarayoni deyiladi differensial tenglamani integrallash orqali.

Umumiy ODE yechimi n-tartibda n ta ixtiyoriy C 1, C 2, ..., C n konstantalar mavjud.

Bu shunisi aniqki, noaniq integral integrandning anti hosilasi va integrasiya doimiysiga teng.

n-tartibli DE ni yechish uchun n ta integrallashni amalga oshirish zarurligi sababli umumiy yechimda n ta integrallash konstantasi paydo bo ladi.

Shaxsiy yechim Agar biz integratsiya konstantalariga ba'zi qo'shimcha shartlarni belgilash orqali ba'zi qiymatlarni belgilasak, ularning soni barcha aniqlanmagan integratsiya konstantalarini hisoblash imkonini beradigan umumiy qiymatdan ODE olinadi.

Aniq (analitik) yechim (umumiy yoki xususiy) differensial tenglama elementar funksiyalar ifodasi shaklida kerakli yechimni (y (x) funksiya) olishni nazarda tutadi. Bu har doim ham, hatto birinchi tartibli tenglamalar uchun ham mumkin emas.

Raqamli yechim DE (bo'lim) y (x) funksiyani va uning ma'lum bir segmentda yotgan ba'zi berilgan nuqtalarda hosilalarini hisoblashdan iborat. Ya'ni, aslida, shaklning n-tartibining yechimi quyidagi raqamlar jadvali ko'rinishida olinadi (eng yuqori hosilaning qiymatlari ustuni qiymatlarni tenglamaga almashtirish orqali hisoblanadi). ):

Misol uchun, birinchi tartibli differensial tenglama uchun yechim jadvali ikkita ustunga ega bo'ladi - x va y.

Funktsiyaning qiymati aniqlanadigan abscissa qiymatlari to'plami deyiladi to'r, bunda y (x) funksiya aniqlangan. Koordinatalarning o'zi deyiladi mesh tugunlari... Ko'pincha, qulaylik uchun ishlatiladi yagona panjaralar, unda qo'shni tugunlar orasidagi farq doimiy va deyiladi panjara qadami yoki integratsiya bosqichi differensial tenglama

Yoki, i= 1, ..., N

Aniqlash uchun shaxsiy yechim integratsiya konstantalarini hisoblash imkonini beradigan qo'shimcha shartlarni belgilash kerak. Bundan tashqari, bunday shartlar aniq bo'lishi kerak. Birinchi tartibli tenglamalar uchun - bitta, ikkinchisi uchun - 2 va boshqalar. Differensial tenglamalarni yechishda qanday qo‘yilishiga qarab, uch xil masalalar mavjud:

· Koshi muammosi (dastlabki muammo): Bundaylarni topish kerak shaxsiy yechim aniqni qanoatlantiradigan differensial tenglama bir nuqtada berilgan dastlabki shartlar:

ya'ni mustaqil o'zgaruvchining o'ziga xos qiymati (x 0) berilgan va bu nuqtada (n-1) tartibgacha bo'lgan funktsiya va uning barcha hosilalari qiymati. Bu nuqta (x 0) deyiladi boshlang'ich... Masalan, agar 1-tartibdagi DE yechilsa, u holda boshlang'ich shartlar juft sonlar (x 0, y 0) sifatida ifodalanadi.

Bunday muammoni hal qilishda duch keladi ODE Bu, masalan, kimyoviy reaksiyalarning kinetikasini tavsiflaydi. Bunday holda, vaqtning dastlabki momentidagi moddalarning kontsentratsiyasi ma'lum ( t = 0), va ma'lum vaqtdan keyin moddalarning konsentratsiyasini topish kerak ( t). Misol tariqasida issiqlik uzatish yoki massa uzatish (diffuziya), harakat tenglamasini ham keltirishimiz mumkin. moddiy nuqta kuchlar ta'sirida va boshqalar.

· Chegara muammosi ... Bunday holda, funktsiya va (yoki) uning hosilalari qiymatlari bir nechta nuqtada, masalan, vaqtning boshlang'ich va oxirgi momentida ma'lum bo'ladi va differentsial tenglamaning ma'lum bir yechimini topish kerak. bu nuqtalar orasida. Bu holatda qo'shimcha shartlarning o'zi deyiladi mintaqaviy (chegara chizig'i) shartlar. Tabiiyki, chegaraviy masala kamida ikkinchi tartibli ODE uchun echilishi mumkin. Quyida chegara shartlariga ega ikkinchi tartibli ODE ga misol keltirilgan (funktsiyaning qiymatlari ikki xil nuqtada berilgan):

· Shturm-Liouvil muammosi (o'ziga xos qiymat muammosi). Bu turdagi masalalar chegaraviy masalalarga o'xshaydi. Ularni hal qilishda har qanday parametrning qaysi qiymatlarida yechim topish kerak DU chegara shartlarini qondiradi ( xos qiymatlar) va parametrning har bir qiymatida DE ning yechimi bo'lgan funksiyalar (o'ziga xos funktsiyalar). Masalan, kvant mexanikasining ko'pgina muammolari xususiy qiymat muammolari.

Birinchi tartibli ODElar uchun Koshi masalasini echishning raqamli usullari

Yechishning bir necha raqamli usullarini ko'rib chiqing Cauchy muammolari (boshlang'ich vazifa) birinchi tartibli oddiy differensial tenglamalar. Biz bu tenglamani yozamiz umumiy ko'rinish hosilaga nisbatan yechilgan (tenglamaning o'ng tomoni birinchi hosilaga bog'liq emas):

(6.2)

Agar boshlang'ich qiymatlari ma'lum bo'lsa, y (x) funktsiyasining qiymati x 0 boshlang'ich nuqtasida mavjud bo'lsa, to'rning berilgan nuqtalarida y funktsiyasining qiymatlarini topish kerak.

Tenglamani d x ga ko'paytirish orqali o'zgartiring

Va biz chap va o'ng tomonlarni to'rning i va i + 1-tugunlari o'rtasida birlashtiramiz.

(6.3)

Biz to'rning i-tugunidagi x va y qiymatlari bo'yicha i + 1 integratsiya tugunida yechim qurish ifodasini oldik. Biroq, qiyinchilik shundaki, o'ng tomondagi integral bilvosita integraldir. berilgan funksiya, qaysi birini analitik shaklda topish umuman mumkin emas. ODE ni turli yo'llar bilan echishning raqamli usullari ODE ning raqamli integratsiyasi uchun formulalarni qurish uchun ushbu integralning qiymatini taxminiy (taxminan) qiladi.

Birinchi tartibli ODElarni echish uchun ishlab chiqilgan ko'plab usullardan biz usullarni ko'rib chiqamiz va. Ular juda oddiy va raqamli yechim doirasida ushbu muammoni hal qilishning yondashuvlari haqida dastlabki fikrni beradi.

Eyler usuli

Tarixiy jihatdan birinchi va eng ko'p oddiy tarzda Birinchi tartibli ODE uchun Koshi masalasining sonli yechimi Eyler usulidir. Bu bog'liqning ( y) va mustaqil ( x) yagona tarmoq tugunlari orasidagi o'zgaruvchilar:

bu yerda y i + 1 funksiyaning x i + 1 nuqtadagi kerakli qiymati.

Agar biz ushbu tenglamani o'zgartirsak va integratsiya tarmog'ining bir xilligini hisobga olsak, biz iterativ formulaga ega bo'lamiz, bu orqali biz hisoblashimiz mumkin. y i + 1 agar y i x i nuqtada ma'lum bo'lsa:

Eyler formulasini avval olingan umumiy ifoda bilan solishtirsak, integralni Eyler usulida taxminiy hisoblash uchun eng oddiy integrallash formulasi - segmentning chap qirrasi bo'ylab to'rtburchaklar formulasi qo'llanilishini ko'rish mumkin.

Eyler usulining grafik talqini ham oddiy (quyidagi rasmga qarang). Darhaqiqat, echilayotgan tenglamaning () shakliga asoslanib, qiymat y (x) funksiyaning x = xi - nuqtasidagi hosilasining qiymati va shuning uchun tangensga teng ekanligi kelib chiqadi. y (x) funksiya grafigiga x = xi nuqtada chizilgan tangensning qiyaligi.

— Источник: https://muegn.ru/uz/gosty/chislennye-metody-resheniya-differencialnyh-uravnenii-metod-eilera-reshenie.html © muegn.ru