Ni yoki y ni o‘zichiga olmagan 2- tartibli differensial tenglamalarni yechish

5-Mavzu: Yuqori tartibli differensial tenglamalar. X ni yoki Y ni o‘zichiga olmagan 2- tartibli differensial tenglamalarni yechish

Quyidagi

(1)

noma’lum funktsiyaning n-hosilasini o’z ichiga olgan tenglamalar n-tartibli differentsial tenglamalar, deb ataladi.

1- m i s o l . tenglamaning boshlang’ich shartlarni qanoatlantiruvchi xususiy yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglamani ketma-ket integrallab, uning umumiy yechimini topamiz:

yoki

.

Agar boshlang’ich shartlardan foydalansak: Demak, xususiy yechim

ekan.

2-m i s o l .Berilgan tenglamani tartibini pasaytirish.

; ; ; .

3- m i s o l . tenglamani yeching.

deb belgilash kiritamiz. U holda

va ni tenlamaga qo’yamiz

demak tenglamani tartibi pasaydi, en bu tenglamani yechamiz

, , , .

Bu yerdan , .

5.1 ni bevosita o’z ichiga olmagan tenglamalar.Bu turga

(4)

ko’rinishdagi differentsial tenglamalar kiradi.

Agar (4) da almashtirish bajarsak, uning tartibi taga pasayadi, ya’ni

bo’ladi.

4 - m i s o l .; ; masalaning yechimini toping.

Yechish. Berilgan tenglamada bevosita qatnashmayapti, shu sababli desak, tenglama quyidagi

chiziqli tenglamaga keladi. Buni masalan, Bernulli usuli bilan yechamiz, ya’ni yechimni ko’rinishda qidiramiz. U holda, va larga nisbatan

sistema hosil bo’ladi. Sistemaning birinchi tenglamasidan

ni topib, ikkinchisiga qo’ysak:

kelib chiqadi. U holda, bo’ladi. Bu yerda ekanligini eslab, yana bir marotaba integrallasak:

hosil bo’ladi. Bu yerdagi va o’zgarmaslarni boshlang’ich shart- lardan foydalanib topamiz:

Bundan Demak, qo’yilgan masalaning echimi

bo’lar ekan.

5.2. Erkli o’zgaruvchini o’z ichiga olmagan tenglamalar. Bizga

ko’rinishdagi tenglama berilgan bo’lsin. Bunday tenglamalarda almashtirish tenglama tartibini pasaytirdi. Bunda hosilalar yangi o’zgaruvchi z orqali quyidagicha ifodalanadi:

Xususan, agar tenglama 2-tartibli bo’lsa, u holda u almashtirish natijasida quyidagi 1-tartibli tenglamaga keladi: