Ethan Frome

3-таъриф. Дифференциал тенгламанинг тартиби деб, тенгламада қатнашган номаълум функция ҳосиласининг энг юқори тартибига айтилади.
Масалан,
4-таъриф. Дифференциал тенгламанинг ечими ёки интеграли деб, шундай функцияга айтиладики, уни номаълум функциянинг ўрнига қўйганимизда тенгламани айниятга айлантиради.
Биринчи тартибли дифференциал тенглама ечимининг умумий кўриниши Ф(х,у,С)=0
ёки Ф(х,у,С₁,С₂,...,С_n)=0 ёки С₁) кўринишда бўлади.
Бирорта n-тартибли тенглама ечимининг умумий кўриниши Ф(х,у,С₁,С₂,...,С_n)=0 ёки С₁,С₂,...,С_n) бўлади бунда С₁,С₂,...,С_n лар ихтиёрий ўзгармаслар.
Агар С₁,С₂,...,С_n ларнинг бирор бошланғич шартлар ёрдамида конкрет аниқ қийматларини топсак, у ҳолда умумий ечимлардан хусусий ечимларини аниқлаган бўламиз.


7.2. Биринчи тартибли дифференциал тенгламалар


ёки кўринишдаги дифференциал тенгламага биринчи тартибли дифференциал тенглама дейилади. Биринчи тартибли дифференциал тенгламалар ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги ыаьидаги теоремани яъни Коши масаласини исботсиз кўриб ўтайлик.
Теорема. Агар (1) тенглама берилган бўлиб , функция ва унинг хусусий ҳосиласи нуқтани ўз ичига олган бирор соҳада узлуксиз бўлса , у ҳолда (1) нинг бошланғич шартларни қаноатлантирувчи бўлган ягона ечими мавжуд бўлади.

1. 
   нинг умумий ечими (2) кўринишда бўлади, чунки ечимда
   

ихтиёрий ўзгармас С қатнашган. Бошланғич шартлар ёрдамида С га аниқ қиймат берсак умумий ечимдан қуйидаги хусусий ечимни ҳосил ьиламиз .
Дифференциал тенгламанинг ечимига одатда дифференциал тенгламанинг интеграл чизиғи ҳам дейилади.
Энди биринчи тартибли дифференциал тенгламанинг геометрик интерпретациясини кўрайлик.
тенгламанинг умумий ечими кўринишда бўлди, бу ечим умуман эгри чизиқлар оиласини ифодалайди. (2) даги ўзгармас С га ҳархил қийматлар бериш билан ўзаро параллел бўлган эгри чизиқлар тўпламини олишимиз мумкин. Демак, бундан кўринадики дифференциал тенглама ечими чексиз кўп бўлар экан. Лекин бошланғич шартларни қаноатлантирувчи хусусий ечими ягона бўлади, яъни эгри чизиқлар оиласидан фаьат биттаси хусусий ечимга мос келади.
Анализдан маълумки . Шунинг учун тенгламанинг чап томони интеграл эгри чизиғининг (х,у) нуқтасига ўтказилган уринманинг бурчак коэффициентидир.
Агар х,у ларга ихтиёрий қийматлар бера борсак ўзгариб боради ва натижада текисликда йўналишлар майдони ҳосил бўлади.
Шундай ьилиб, дифференциал тенгламани ечиш геометрик нуқтаи назардан шундай эгри чизиқни топиш деган сўзки, бу эгри чизиқнинг ихтиёрий нуқтасидаги уринманинг йўналиши шу нуқтадаги майдон йўналиши билан бир хил демакдир.

Агар яъни бўлса га изоклин тенгламаси дейилади. Яъни ҳамма нуқталаридаги уринмалари бир хил бурчак ташкил қилган нуқталар тўпламига изоклин дейилади.	y y 0 x 0 x
Мисол. 1. дифференциал тенглама =60^0 бўлса 2. яъни		y 60^0 0 x

y

. умумий ечимнинг геометрик ўрни чексиз кўп концентрик айланаларни ифодалайди. бошланғич шартларни қаноатлантирувчи хусусий ечим

x