Ethan Frome

23.7. Тўлиқ дифференциалли тенглама

Агар (1) тенгламанинг чап томони бирор функциянинг Тўлиқ дифференциали, яъни бўлса,

(1) га Тўлиқ дифференциалли тенглама дейилади. Бу ҳолда (1) ни қуйидагича ёзиш мумкин:
Савол туцилади: ьандай ыолларда (1) Тўлиқ дифференциалли тенглама бўлади?
Теорема. (1) тенглама Тўлиқ дифференциалли тенглама бўлиши учун бирор соҳада узлуксиз ва дифференциалланувчи функциялар учун

шартнинг бажарилиши зарур ва етарли.
Исбот. Зарурлиги. (1) нинг чап томони бирор функциянинг Тўлиқ дифференциали бўлсин, у ҳолда
буларни мос равишда у ва х лар бўйича дифференциалласак
зарурлиги исботланди.
Энди етарлигини исботлайлик, яъни (2) бажарилганда (1) нинг чап томони бирор функциянинг Тўлиқ дифференциали эканлигини кўрсатайлик.
ўринли бўлсин. бу системани қаноатлантирувчи М(х,у) функцияни топишимиз керак.

буни ўрнига қўйсак
Мисол.
демак




7.8. Интегралловчи кўпайтувчи

Агар (1) тенглама Тўлиқ дифференциалли тенглама бўлмайди. Лекин (1) ни функцияга кўпайтиргандан кейин унинг чап томони бирор функциянинг Тўлиқ дифференциали бўлади. Бундай ҳолда функцияга интегралловчи кўпайтувчи дейилади.

- бу Тўлиқ дифференциаллардаги тенглама бўлиши учун
(бўлиши зарур ва кифоя) ҳар иккала томонини га бўлсак
бу тенгламани қаноатлантирувчи ихтиёрий функция интегралловчи кўпайтувчи бўлади.
(2) хусусий ҳосилали тенглама унинг чексиз кўп ечимлари бўлади. Умумий ҳолда (2) ни ечиш (1) ни ечишдан ьийин.
Лекин баъзи хусусий ыолларда ни топиш мумкин.
1) бўлсин , у ҳолда бўлиб (2) дан

2) Агар бўлса бўлиб
Мисол.
яъни
Назарияга кўра ёки бўлишлари керак.
демак фаьат х га боцлиь бўлар экан.
интегралласак


демак .

умумий ечим.

Адабиётлар

1. 
   [1] 1-жилд 418-431 бетлар
   
2. 
   [2] 2-жилд 198-214 бетлар