Ermiz davlat universiteti amaliy matematika va informatika kafedrasi

Оптимал квадратур формуланинг коеффициентларни

ҳисоблаш учун алгоритм
Биз ва бўлганда деб оламиз. муносабатни свёртка амали билан қайта ёзиб оламиз
. (4.14)
Эндиги мақсад тенгламалар системасини қаноатлантирадиган коеффициентларни топишдан иборат.
Биз тенгламалар системасини тўғридан-тўғри ечмаймиз. Бунинг ўрнига дифференциал операторнинг дискрет аналогидан фойдаланиб, -оптимал квадратур формула коеффициентлар учун аналитик формулаларни оламиз. Бу ерда дискрет оператор қуйидаги кўринишга эга.
(4.15)
Қуйидаги функцияни кўриб чиқамиз
. (4.16)
Энди биз коеффицентларни функцияси билан ифодалашимиз керак. Бунинг учун биз дифференциал операторнинг дискрет аналогидан фойдаланамиз. дискрет операторнинг кўриниши да берилган, бунда -дискрет дельта функция

Оптимал квадратур формуланинг коеффициентларини бўлганда қуйидаги формуладан фойдаланиб топамиз
. (4.17)
Бунинг учун тенгликдаги свёрткани ҳисоблаймиз. Бунда тенгликдан фойдаланиб, яъни, функциянинг кўринишини топамиз

Бу ердан бўлганда


тенгликга эга бўламиз, ҳамда бўлганда

ифодани оламиз. Шунингдек бўлганда

тенгликни оламиз. Демак,

Бу ерда ва . Энди квадратур формуланинг оптимал коеффициентларини топиш билан шуғулланамиз. Бунинг учун бизга дифференциал операторнинг дискрет аналогини топиш ва унинг хоссаларидан фойдаланиш кифоя.

5- мавзу: дифференциал операторнинг дискрет аналоги ва унинг асосий хоссалари
Режа:

1. 
   дискрет аналогини қуриш
   
2. 
   Узлуксиз ва функцияларнинг свёрткасини ҳисоблаш
   
3. 
   дифференциал операторнинг дискрет аналоги ҳақидаги теорема ва унинг исботи
   
4. 
   . дифференциал операторнинг h дискрет аналоги қаноатлантирадиган тенгликлар
   

Таянч иборалар: Дискрет оператор, дискрет аналог, свёртка, дискрет аргументли функция, Диракнинг дельта-функцияси, Фурьенинг тўғри алмаштиришлари, Фурьенинг тескари алмаштиришлари

1. 
   дискрет аналогини қуриш
   

Биз қуйидаги тенгликни қаноатлантирадиган дискрет анологини қуришни қараймиз
(5.1)
Бу ерда қуйидаги

тенглик билан аниқланган функцияларга мос дискрет аргументли функция, эса қуйидаги кўринишга эга

Юқоридаги (5.1) тенглама қуйидаги тенгламанинг дискрет аналоги ҳисобланади
(5.2)
бу ерда - Диракнинг дельта-функцияси, ҳамда дискрет функция дифференциал операторининг аналогидир, яъни дискрет аналогнинг ноллари ўз вақтида операторнинг нолларига мос келадиган дискрет функциялардир.
Дискрет аналогини қуришда фойдаланиладиган умумлашган функциялар назарияси ва Фурье алмаштиришларининг маълум таъриф ва формулаларидан фойдаланамиз.
1-таъриф. Бирор чегараланган тўпламдан ташқарида нолга тенг бўлган функция финит функция дейилади.
Бир ўлчовли функция учун бошқача айтадиган бўлсак, агар функция учун шундай кесма топилиб, ларда бўлса, бу функция финит функция ва кесма унинг ташувчиси дейилади.