Eng katta boylik-bu aql zakovat va ilm, eng katta meros-bu yaxshi tarbiya,eng katta qashshoqlik-bu bilimsizlikdir!

5. , boshlang’ich shartli masalaning yechimi mavjud bo’la-digan biron-bir kesmani ko’rsating.
Pikarteoremasini qo’llaymiz. Bizda funksiya ixtiyoriy to’g’ri to’rtburchakda uzluksiz bo’ladi va uning hosilasi son bilan chegaralanganligi uchun, funksiya shu to’g’ri to’rtburchakda Lipshits shartini ham qanoatlan-tiradi. Shunday qilib, agar , deb olsak, u holda kesmada qo’yilgan masalaning yagona yechimi mavjud. Endi sonni topamiz. Agar biror kesmada yagona yechim mavjud bo’lsa, u holda kesmaning ichida joylashgan undan kichikroq har qanday kesmada ham yechim mavjud bo’ladi. Shuning uchun imkon qadar kattaroq kesmani, ya’ni ni topish kerak. bo’lganda funksiya o’suvchi, funksiya esa kamayuvchi bo’lganligi uchun o’zining maksimumiga , ya’ni
_(3.7)

bo’lgandagina erishadi.

Endi (3.7) tenglikning o’ng tomonidagi ifodani ning funksiyasi sifatida qaraymiz: , bu yerda - biror tayin son.
funksiya da maksimumga erishishini aniqlay qiyin emas. Bu maksimumni hisoblash uchun qiymatni (3.7) ifodaga qo’yish kerak. Hosil bo’lgan algebraik tenglamani yechib, avval ning, so’ngra ning qiymatlarini topamiz:
, .
Shunday qilib, qo’yilgan masalaning yechimi kesmada mavjud va yagona ekanligini kafolatlashimiz mumkin.
6. Yagonalikning biror yetarli shartidan foydalanib, tekislikda shunday sohani ajratingki, bu sohaning har bir nuqtasi orqali tenglamaning faqat bitta yechimi o’tsin.
Bu yerda bo’lganda tenglamaning o’ng tomoni uzluksiz va bo’yicha uzluksiz xususiy hosilaga ega ekanligi ravshan. Shunga binoan, Pikar teoremasiga ko’ra, tekislikning to’g’ri chiziq-lardan boshqa har bir nuqtasi orqali qaralayotgan tenglamaning yagona in-tegral egri chizig’i o’tadi.