Endi cheksiz oraliq bo’yicha olingan integral tushunchasini kiritamiz

Xosmas integrallar
Rimanin tegrali tushunchasi chegaralangan va kesmada aniqlangan funksiyalar uchun berilgan edi. Chegaralanmagan funksiyalardan va cheksiz oraliqlar bo’yicha ham integral tushunchasini kiritish masalasi haqidagi savol ham tabiiy ravishda tug’iladi.
1.Cheksiz oraliq bo’yicha integral tushunchasi funksiyani oraliqda qaraylik. Bu funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integral mavjud.

ham mavjud. Bu limit funksiyadan oraliq bo’yicha olingan integral deyiladiva

ko’rinishdayoziladi. – sonini funksiya grafigi va koordinata o’qlari bilan chegaralangan figuraning yuzasi sifatida qarash mumkin.
Endi cheksiz oraliq bo’yicha olingan integral tushunchasini kiritamiz.
funksiya oraliqda aniqlangan bo’lsin. Bu funksiya kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchi, ya’ni

integralmavjudbo’lsin. Agar

mavjudbo’lsa, u holdabu limit funksiyadan oraliqbo’yichaolinganxosmas integral (birinchiturxosmasintegrali)deyiladiva

kabibelgilanadi. Bu holda funksiyani oraliqda xosmasma’nodaintegrallanuvchideyiladi. Demak, ta’rifbo’yicha

Bu holda – xosmas integral yaqinlashuvchideyiladi.
oraliqda integraltushunchasini ham kiritishmumkin:

Nihoyat da xosmas integral tushunchasini kiritamiz:

Bu yerda funksiyadan ixtiyoriy segmantda Rimanma’nosidaintegrallanuvchanligitalabqilinadi. Agar (3) limit mavjudbo’lsa, u holdaxosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. (3) limit va larning mos ravishda va gaqandayusuldaintilishigabog’liqemasliginita’kidlashlozim. Boshqachaaytganda integral yaqinlashuvchibo’lishiuchun

limitlarningmavjudbo’lishizarurvayetarli . Bu holda bo’ladi:

2. Cheklioraliqbo’yichaolinganxosmas integral tushunchasi:
funksiyaniqaraylik. Bu funksiya [0;1) da uzluksiz, ammo u chegaralanmagan kesmada Riman ma’nosida integrallanuvchibo’ladi:

Bu yerdanesa

Bu limitgaya’ni 2 soniga funksiyadan [0; 1) oraliqbo’yichaolinganxosmas integral (ikkinchiturxosmas integral) deyiladiva

kabibelgilanadi.
Endichegaralanganoraliqbo’yichaolinganxosmas integral tushunchasinikiritamiz. funksiya oraliqda aniqlangan bo’lib, oraliqdaRimanma’nosidaintegrallanuvchibo’lsin. Agar

mavjudbo’lsa, u holdabu limit funksiya oraliq bo’yicha olingan xosmas integral (2 – tur xosmas integral) deyiladi va

kabibelgilanadi. Shundayqilib, ta’rifbo’yicha:

(5) limit mavjudbo’lsa, xosmas integral yaqinlashuvchi, aks holda uzoqlashuvchi deyiladi. - belgi (5) limit mavjud bo’lsa ham bo’lmasa ham ishlatiladi.
Shungao’xshash funksiya oraliqda aniqlangan va segmantdaRimanma’nosidaintegrallanuvchibo’lsa,xosmas integral tushunchasiniquyidagichakiritishimiz

3. boshqako’rinishdagixosmas (2 – turxosmas) integral tushunchasi
Agar funksiya chekli intervalda aniqlangan, tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar uchun segmantdaRimanma’nosidaintegrallanuvchibo’lsin. U holda funksiya intervaldagi xosmas integrali

formula orqalianiqlanadi. Agar funksiya segmentda nuqtadan tashqari barcha nuqtalarida aniqlangan va tengsizlikni qanoatlantiruvchi nuqtalar uchun va kesmalarda integrallanuvchi bo’lib,

limitlarmavjudbo’lsin. U holda

yig’indiga funksiyadan oraliq bo’yicha olingan xosmas integral deyiladi va kabi belgilanadi. Demak,