O’zgaruvchilarnialmashtirishformulasi.
4 – xossa. Agar funksiya oraliqda, funksiya da qat’iyo’suvchivauzluksizdifferensiallanuchibo’lib ,
bo’lsa, u holdaquyidagio’zgaruvchilarnialmashtirishformulasio’rinli.
Bu formulabutengliklarningaqallibittasimavjudbo’lgandao’rinli.
Tengsizliklarniintegrallash.
5 – xossa.Agar
integrallaryaqinlashuvchibo’lib, tengsizlik o’rinli bo’lsa, u holda
tengsizliko’rinli.
Isbot. tengsizlik
tengsizlikdan da limitga o’tish orqali kelib chiqadi.
Manfiybo’lmaganfunksiyalardanolinganxosmasintegrallar.
1 – Teorema. Agar bo’lsa, u holda
xosmasintegralningyaqinlashuvchibo’lishiuchun
funksiyaningyuqoridanchagaralanganbo’lishizarurvayetarli, ya’ni
munosabatningbajarilishizarurvayetarli.
Isbot.Osonlikbilankorishmumkinki – funksiyao’suvchibo’ladi. Haqiqatdan ham (1) shartdanvaRimanintegraliningxossalaridan
ya’ni ekanligini olamiz.
Agar
xosmas integralyaqinlashuvchibo’lsa, ya’ni
mavjudbo’lsa, u holdamonotonfunksiyaninglimitihaqidagiteoremagako’ra
bo’ladi.Bu yerdanmonotonfunksiyaninglimitihaqidagiteoremagako’ra
bo’ladi, ya’ni (2) shartbajariladi.
Aksincha (2) shartbajarilsa, u holdamonotonfunksiyaninglimitihaqidagiteoremagako’ra (F – o’suvchifunksiya ) chekli
limitimavjudbo’ladi, ya’ni
xosmas integralyaqinlashuvchibo’ladi.
2 – Teorema. (Taqqoslashteoremasi ). Agar
tengsizlikbajarilsa, u holda
integralning yaqinlashuvchiligidan integralning yaqinlashuvchiligikelibchiqadi.
– ninguzoqlashuvchiligidan ninguzoqlashuvchiligikelibchiqadi.
Isbot.a) (3) shartdanRimanintegraliningtengsizliklargabog’liqxossalaridan
kelibchiqadi. Agar integral yaqinlashuvchibo’lsa, ya’ni
mavjudbo’lsa, u holda
Demak, manfiybo’lmagan funksiyauchun (2) shartbajariladiva 1 – teoremagako’ra - integral yaqinlashuvchibo’ladi.
b) Agar – uzoqlashuvchibo’lsa, ham uzoqlashuvchibo’lishikerak. Aksholda, ya’ni – integralningyaqinlashuvchiligidan ningyaqinlashuvchiligiyuqoridaisbotlanganigako’rakelibchiqaredi.
Natija.Agar
shartabajarilib
bo’lsa, u holda va integrallar bir vaqtda yaqinlashuvchi yoki uzoqlashuvchi bo’ladi.
Isbot (5) va (6) shartlarbajarilganda
tengsizlikbajariladi. Bu yerda deb olsak, shunday topilib,
tengsizlikkelibchiqadi. (7) dan (5) nihosobgaolib,
tengsizlikkelibchiqadi. (Bu yerda ni shunday tanlaymizki bo’lsin). va funksiyalarning oraliqda maxsus nuqtalari yo’qligi sababliularningshuoraliqdayaqinlashuvchibo’lishiuchunularning oraliqdayaqinlashuvchibo’lishizarurvayetarlidir.
Agar – integral yaqinlashuvchibo’lsa, – integral ham yaqinlashuvchibo’ladi. Bundan 2 – teoremagako’ra – integralning yaqinlashuvchi ekanligi kelib chiqadi. Hamda – ning uzoqlashuvchiligidan – ning uzoqlashuvchiligi kelib chiqadi.
Do'stlaringiz bilan baham: |